Câu 662: Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - 2y + 3z + 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 6z = 0\). Mệnh đề nào sau đây là một mệnh đề sai? A. \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn. B. \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\). C. \(\left( \alpha \right)\) có điểm chung với \(\left( S \right)\). D. \(\left( \alpha \right)\) đi qua tâm của \(\left( S \right)\). Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) tâm I(1;-2;-3), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {14}\) \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {4.1 - 2.( - 2) + 3( - 3) + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} }} = 0\) Vậy tâm I của (S) thuộc (P) \(\Rightarrow\) phương án cần tìm là B.
Câu 663: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1,0,0} \right);\,B\left( {0,1,0} \right);C\left( {0,0,1} \right);D\left( {1,1,1} \right)\). Xác định tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. A. \(G\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\) B. \(G\left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right)\) C. \(G\left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)\) D. \(G\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G(x;y;z) là tâm tứ diện Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0\) \(\\\Rightarrow (1 - x; - y; - z) + ( - x;1 - y; - z) + ( - x; - y;1 - z) + (1 - x;1 - y;1 - z) \\= (0;0;0)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 - 4x = 0\\ 2 - 4y = 0\\ 2 - 4z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{2}\\ z = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Câu 664: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;2)$, $B(5;4;4)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y – z + 6 =0$. Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho $MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất là: A. M(-1;1;5) B. M(1;-1;3) C. M(2;1;-5) D. M(-1;3;2) Spoiler: Xem đáp án Gọi điểm I(x;y;z) thỏa \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 0\) thì I là trung điểm của AB và \(I(3;3;3)\) Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\) \(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} )\) \(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2}\) \(IA^2 + IB^2\) không thay đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(P)}=(2;1;-1)\) Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Ta có phương trình của d là:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t\\ 2x + y - z + 6 = 0 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow t = 2 \Rightarrow M( - 1;1;5)\)
Câu 665: Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + z + 6 = 0\) và điểm \(A\left( {2, - 1,0} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. H(1;-1;1) B. H(-1;1;-1) C. H(3;-2;1) D. H(5;-3;1) Spoiler: Xem đáp án \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\) Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \((\alpha )\) ta có: d có vectơ chỉ phương: \(\vec{u}_{d}=\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\) và đi qua A(2;-1;0) \(\Rightarrow\) phương trình của \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 2t\\ z = t \end{array} \right.\) Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 2t\\ z = t\\ 3x - 2y + z + 6 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow 3(2+3t)-2(-1-2t)+t+6=0 \Leftrightarrow t=1\) \(\Rightarrow H( - 1;1; - 1)\)
Câu 666: Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng \(d\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 4t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\).Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d. A. H(2;-3;-1) B. H(2;3;1) C. H(2;-3;1) D. H(-2;3;1) Spoiler: Xem đáp án Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với d, d có vectơ chỉ phương là \(\vec{u_d}=(-4;-1;2)\) \((P)\perp d\Rightarrow\) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}_{(P)} = - \overrightarrow {{u_d}} = (4;1; - 2)\) vậy phương trình của (P) là \(4(x-1)+(y-1)-2(z-1)=0\) hay \(4x+y-2z-3=0\) Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 4t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ 4x + y - 2z - 3 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow 4(6 - 4t) + ( - 2 - t) - 2( - 1 + 2t) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) \(\Rightarrow H(2;-3;1)\)
Câu 667: Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ \,y = - 1\\ \,z = - t \end{array} \right.\) và 2 mp (P): \(x + 2y + 2z + 3 = 0\) và (Q): \(x + 2y + 2z + 7 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\) B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\) D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\) Spoiler: Xem đáp án \(I \in (d) \Rightarrow I(t;-1;-t)\) Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (Q) \(\Rightarrow d(I,(P))=d(I,(Q))\) \(\Rightarrow \frac{\begin{vmatrix} t-2-2t+3 \end{vmatrix}}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{\begin{vmatrix} t-2-2t+7 \end{vmatrix}}{\sqrt{1+4+4}}\) \(\Rightarrow \begin{vmatrix} -t+1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -t+5 \end{vmatrix}\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - t + 1 = - t + 5\\ - t + 1 = t - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2t = 6 \Leftrightarrow t = 3\) vậy I(3;-1;-3) \(d(I,(P))=d(I,(Q))=\frac{2}{3}\) Mặt cầu có tâm I(3;-1;-3) bán kính \(R=\frac{2}{3}\) có phương trình là \((S): (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z+3)^{2}=\frac{4}{9}\)
Câu 668: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6), D(5; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). A. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\) B. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\) C. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\) D. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} =(4;-5;1);\overrightarrow {AC} =(3;-6;4)\) \([\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -5 \hspace{10pt} 1 \\ -6 \hspace{15pt} 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \hspace{10pt} 4 \\ 4 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \hspace{15pt} -5 \\ 3 \hspace{15pt} -6 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-14;-13;-9)\) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=-[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ]=(14;13;9)\) đi qua A(1;6;2) nên có phương trình: \(\\ 14(x-1)+13(y-6)+9(z-2)=0 \\ \Leftrightarrow 14x+13y+9z-110=0\) \(d(D,(ABC))=\frac{4}{\sqrt{446}}\) Mặt cầu (S) có tâm D(5;0;4) tiếp xúc (ABC) nên có bán kính R = d(D,(ABC)) vậy phương trình của (S) là: \((S): (x-5)^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=\frac{8}{223}\)
Câu 669: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A(1;0;4). A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\) B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\) D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {IA} =(0;-2;7)\) \(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {53}\) Mặt cầu có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=IA =\sqrt{53}\) có phương trình là: \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=53\)
Câu 670: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0. Viết phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\) B. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{1}\) C. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) D. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{(P)}}=(2;1;-1)\) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{(Q)}}=(1;1;1)\) \([\vec{n_{(P)}};\vec{n_{(Q)}}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 \hspace{10pt} -1 \\ 1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 \hspace{10pt} 2 \\ 1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \hspace{15pt} 1 \\ 1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(2;-3;1)\) \(M(0;2;-1) \in (P)\cap (Q)\) Đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q) đi qua M(0;2;-1) nhận vectơ \(\vec{u}=(2;-3;1)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{1}\)
Câu 671: Trong không gian Oxyz, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4};{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) A. \(\overrightarrow n = ( - 5;6; - 7)\) B. \(\overrightarrow n = (5; - 6;7)\) C. \(\overrightarrow n = ( - 5; - 6;-7)\) D. \(\overrightarrow n = ( - 5; 6;7)\) Spoiler: Xem đáp án \(\Delta _1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u _1}=(2;-3;4)\) \(\Delta _2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u _2}=(1;2;-1)\) \([\vec{u_1};\vec{u_2}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -3 \hspace{15pt} 4 \\ 2 \hspace{15pt} -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \hspace{15pt} 2 \\ -1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \hspace{10pt} -3 \\ 1 \hspace{20pt} 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-5;6;7)\) Mặt phẳng song song với hai đường thẳng \(\Delta _1\),\(\Delta _2\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=[\vec{u_1};\vec{u_2}]=(-5;6;7)\)
