Câu 672: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 4=0$ và mặt phẳng $(P): x +z - 3 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). A. \((Q):2x + y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y - 4z - 9 = 0.\) B. \((Q):2x - 4y + 2z = 0\) hoặc \((Q):x + y - 4z - 8 = 0.\) C. \((Q):2x - y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y + 4z - 9 = 0.\) D. \((Q):2x + y + 2z - 5 = 0\) hoặc \((Q):4x + 7y - 4z - 23 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT \({\vec n_P} = (1;0;1)\) . PT (Q) đi qua M có dạng: \(A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,\,\,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\) (Q) tiếp xúc với (S) \(\Rightarrow d(I,(Q)) = R \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}\) (*). \((Q) \bot (P) \Rightarrow {\vec n_Q}.{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C = - A\) (**) Từ (*), (**) \(\Rightarrow \left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 2B\\ {\mkern 1mu} 7{\rm{A}} = - 4B{\mkern 1mu} \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}\) Với A=2B. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 suy ra PT (Q): \(2x + y - 2z - 9 = 0\) Với 7A=-4B. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 suy ra PT (Q): \(4x - 7y - 4z - 9 = 0\)
Câu 673: Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a = (1; - 2;3){\rm{ ; }}\overrightarrow b = (3;0;5)\) . Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\). A. $5x-2y-3z-21=0$ B. $-5x+2y+3z+3=0$ C. $10x-4y-6z+21=0$ D. $5x-2y-3z+21=0$ Spoiler: Xem đáp án \([\vec{a};\vec{b}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -2 \hspace{15pt} 3 \\ -2 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 \hspace{15pt} 1 \\ 5 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \hspace{10pt} -2 \\ 3 \hspace{20pt} 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-10;4;6)\) \((\alpha )\) đi qua M(0;0;-1) nhận \(\vec{n}=-\frac{1}{2}[\vec{a};\vec{b}]\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: \(5(x-0)-2(y-0)-3(z+1)=0\) hay \(5x-2y-3z-3=0\) hoặc\(-5x+2y+3z+3=0\)
Câu 674: Cho 3 điểm A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. \(14{\rm{x}} + 13y + 9{\rm{z + }}110 = 0\) B. \(14{\rm{x}} + 13y - 9{\rm{z}} - 110 = 0\) C. \(14{\rm{x - }}13y + 9{\rm{z}} - 110 = 0\) D. \(14{\rm{x}} + 13y + 9{\rm{z}} - 110 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = (4, - 5,1)\) \(\overrightarrow {AC} = (3, - 6,4)\) \([\overrightarrow {AB};\overrightarrow {AC}]=(-14;-13;-9)\) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;6;2) nhận vectơ \(\vec{n}=-[\overrightarrow {AB};\overrightarrow {AC}]=(14;13;9)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(14(x-1)+13(y-6)+9(z-2)=0\) hay \(14x+13y+9x-110=0\)
Câu 675: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1,1,0} \right);\overrightarrow b = (1,1,0);\overrightarrow c = \left( {1,1,1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0\) B. \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) đồng phẳng. C. \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = ( - 1 + 1 + 1;1 + 1 + 1;0 + 0 + 1) = (1;3;1) \ne \overrightarrow 0\) \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c = - 2 \ne 0\) suy ra \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) không đồng phẳng. \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 2 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Câu 676: Trong không gian Oxyz, Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (1;2;3)\) A. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 2t\\ z = 3t \end{array} \right.\) B. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2\\ z = 3 \end{array} \right.\) C. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3t\\ z = 2t \end{array} \right.\) D. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - t\\ y = - 2t\\ z = - 3t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án d đi qua O(0;0;0) có vecto chỉ phương \(\vec{v}=(1;2;3)\) \(\Rightarrow d: \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=2t \\ z=3t \end{matrix}\right.\) hay \(d: \left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=-2t \\ z=-3t \end{matrix}\right.\)
Câu 677: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm \(A\left( { - 2,1,0} \right);B\left( { - 3,0,4} \right);C\left( {0,7,3} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\). A. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{14}}{{3\sqrt {118} }}\) B. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{7\sqrt 2 }}{{3\sqrt {59} }}\) C. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {57} }}\) D. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {57} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} =(-1;-1;4)\) \(\overrightarrow {BC} =(3;7;-1)\) \(cos(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC} )=\frac{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}}{\begin{vmatrix} \overrightarrow {AB} \end{vmatrix}.\begin{vmatrix} \overrightarrow {BC} \end{vmatrix} }=\frac{-14}{3\sqrt{2}.\sqrt{59}}=-\frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{59}}\)
Câu 678: Cho các vectơ \(\vec a = (1;2;3);\,\,\vec b = ( - 2;4;1);\,\,\vec c = ( - 1;3;4)\) . Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c\) A. \(\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)\) B. \(\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)\) C. \(\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)\) D. \(\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\\ \vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}+5\vec{c} \\ =2(1;2;3)-3(-2;4;1)+5(-1;3;4) =(3;7;23)\)
Câu 679: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j\) Tìm tọa độ điểm A. A. \(A\left( {3, - 2,5} \right)\) B. \(A\left( { - 3, - 17,2} \right)\) C. \(A\left( {3,17, - 2} \right)\) D. \(A\left( {3,5, - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\vec{i}=(1;0;0)\) \(\vec{j}=(0;1;0)\) \(\vec{k}=(0;0;1)\) \(\vec{AO}=3(\vec{i}+4\vec{j})-2\vec{k}+5\vec{j}=(3;17;-2)\) Gọi A (xA;yA;zA) ta có: \(\left\{\begin{matrix} 0-x_{A}=3 \\ 0-y_{A}=17 \\ 0-z_{A}=-2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A}=-3 \\ y_{A}=-17 \\ z_{A}=2 \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A(-3;-17;2)\)
