Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm một véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4y - 6{\rm{z}} + 7 = 0.\) A. \(\overrightarrow n = \left( {0;2; - 3} \right).\) B. \(\overrightarrow n = \left( {4;0; - 6} \right).\) C. \(\overrightarrow n = \left( {0;6;4} \right).\) D. \(\overrightarrow n = \left( {4; - 6;7} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n = k(0;4; - 6),\,\,(k \ne 0)\) Với \(k = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow n = (0;2; - 3).\)
Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( {3;0;3} \right).\) Tìm tọa độ điểm C sao cho \(G\left( {2;2;2} \right)\) là trọng tâm của tam giác ABC. A. \(C\left( {2;4;4} \right).\) B. \(C\left( {0;2;2} \right).\) C. \(C\left( {8;10;10} \right).\) D. \(C\left( { - 2; - 4; - 4} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(C\left( {a;b;c} \right),\) vì G là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3.2 - 1 - 3 = 2\\b = 3.2 - 2 - 0 = 4\\c = 3.2 - \left( { - 1} \right) - 3 = 4\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;4;4} \right).\)
Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right),\) gọi A,B và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy và Oz. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua ba điểm A,B và C. A. \(\left( \alpha \right):6x - 3y + 2{\rm{z}} = 0.\) B. \(\left( \alpha \right):6x + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0.\) C. \(\left( \alpha \right):6x + 3y + 2{\rm{z}} - 18 = 0.\) D. \(\left( \alpha \right):6x - 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\,\)hay \(\,\left( \alpha \right):6x + 3y + 2z - 6 = 0.\)
Câu 64: Cho mặt cầu (S): \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = 9\). Điểm M (x; y; z) di động trên (S). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {2{\rm{x}} + 2y - z + 16} \right|.\) A. 6 B. 3 C. 24 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) và có bán kính \(R = 3.\) Xét mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y - z + 16 = 0.\) Đường thẳng \(\Delta \) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right..\) \(\Delta \) và (S) cắt nhau tại hai điểm: \(A\left( {0; - 3;4} \right),B\left( {4;1;2} \right).\) Ta có: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 8.\) Lấy \(M\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2{\rm{x}} + 2y - z + 16} \right|}}{3} = \frac{1}{3}P.\) Luôn có \(2 = d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {M,\left( P \right)} \right) \le d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 8 \Leftrightarrow 6 \le P \le 24.\) Vậy \({P_{\min }} = 6\,\,khi\,\,x = 0,y = - 3,z = 4.\)
Câu 65: Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} + \frac{{z + 1}}{1}\)và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z =0. Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2\\z = t\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = - t\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2\\z = - t\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2\\z = - t\end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(d \cap \left( P \right) = A\left( {1; - 2;0} \right)\) suy ra \(\Delta \) đi qua A. Mặt khác \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2\\z = - t\end{array} \right.\)
Câu 66: Cho mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0, đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và điểm A(1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{2}\) B. \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{2}\) C. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M\left( { - 1 + 2t;t;2 + t} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2 - {x_M}\\{y_N} = - 2 - {y_M}\\{z_N} = 4 - {z_M}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {3 - 2t; - 2 - t;2 - t} \right)\) Cho \(N \in \left( P \right)\) suy ra \(3 - 2t - 2 - t - 4 + 2t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {3;2;4} \right).\) Khi đó: \(\overrightarrow u_{{\Delta}} = \left( {2;3;2} \right).\)
Câu 67: Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{z}{2}\), mặt phẳng \((\alpha ):x + y - z + 3 = 0\) và điểm A(1; 2; -1). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A cắt d và song song với mp \((\alpha ).\) A. \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) B. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) C. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(\Delta \) cắt d tại \(B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + t;1 + 3t;2t + 1} \right).\) Mặt khác AB // \(\left( \alpha \right) \Rightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Rightarrow t = - 1.\) Suy ra \(B\left( {2;0; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) do đó \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
Câu 68: Cho mặt cầu (S) : \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} = 0\)và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+5=0. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S)? (I): x+2y+2z+8 = 0, (II): x+2y+2z–5 = 0, (III): x+2y+2z–10 = 0, (IV): x+2y+2z+5 = 0 A. II và IV B. I và II C. II và III D. I và III Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng song song với (P) có dạng: \(x + 2y + 2{\rm{z}} + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right).\) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;2; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = 3.\) Khi đó: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 8\\m = - 10\end{array} \right..\) Vậy D là phương án đúng.
Câu 69: Mặt phẳng song song với hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) có vectơ pháp tuyến là: A. \(\overrightarrow n = (5; - 6;7)\) B. \(\overrightarrow n = ( - 5;6; - 7)\) C. \(\overrightarrow n = ( - 5;6;7)\) D. \(\overrightarrow n = ( - 5; - 6;7)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 3;4} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 1} \right)\,\,suy\,ra\,\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5;6;7} \right).\)
Câu 70: Câu nào sau đây sai? A. \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow i + \overrightarrow j + \frac{1}{2}\overrightarrow k \Leftrightarrow \overrightarrow a = ( - 3;1;\frac{1}{2})\) B. \(\overrightarrow a = \frac{2}{5}\overrightarrow j + \overrightarrow k - 3\overrightarrow i \Leftrightarrow \overrightarrow a = ( - 3;\frac{2}{5};1)\) C. \(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Leftrightarrow \overrightarrow a = (\frac{1}{2};0; - 5)\) D. \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j \Leftrightarrow \overrightarrow a = (2; - 3;0)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Leftrightarrow \overrightarrow a = \left( {\frac{1}{2};0; - 5} \right).\)
