Câu 71: Mặt phẳng (P): x – 3y + z = 0 nhận vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến? A. \(\overrightarrow n = (\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2})\) B. \(\overrightarrow n = (2; - 6;1)\) C. \(\overrightarrow n = ( - 1;3; - 1)\) D. \(\overrightarrow n = (1;3;1)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = k\left( {1; - 3;1} \right),\left( {k \ne 0} \right)\) Với\(\,k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;3; - 1} \right).\)
Câu 72: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = {t_1}\end{array} \right.,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {t_2}\\y = - 1\\z = 0\end{array} \right.,{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = {t_3}\\z = 0\end{array} \right..\) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và cắt ba đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3}\)lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. A. \(y + z - 5 = 0\) B. \(x - z - 2 = 0\) C. \(2x + 2y - z - 9 = 0\) D. \(x + y + z - 6 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy \({d_1};{d_2};{d_3}\)đôi một vuông góc và đồng quy tại điểm O’(1;-1;0). Gọi M là trực tâm tam giác ABC. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\O'C \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot O'M\), tương tự \(BC \bot O'M\) Suy ra \(O'M \bot \left( {ABC} \right)\). Lại có \(\overrightarrow {O'M} = \left( {0;3;3} \right)\) Khi đó \(\left( {ABC} \right)\) qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {OM} \)và VTPT có phương trình là \(y + z - 5 = 0.\)
Câu 73: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\)và hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1). Tìm toạ độ điểm I thuộc đường thẳng AB (I khác B) sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P). A. \(I\left( { - 3;1;1} \right)\) B. \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\) C. \(I\left( {2;\frac{8}{3};1} \right)\) D. \(I \equiv A\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 2 + t\\z = 1\end{array} \right.\). Gọi \(I\left( {3t;2 + t;1} \right)\). Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \left| {3t + 2 + t + 1 - 4} \right| = \left| { - 1} \right| \Leftrightarrow \left| {4t - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\\I\left( {0;2;1} \right) \equiv B\end{array} \right..\)
Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và điểm K(-3;4;3). Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d, cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm K một khoảng nhỏ nhất. A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) B. \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\) C. \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}\) D. \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(F\left( {1 + 2t;t;1 + 2t} \right)\) là hình chiếu vuông góc của K trên d. Ta có: \(\overrightarrow {KF} \left( {2t + 4;t - 4;2t - 2} \right)\,\) Khi đó \(\overrightarrow {KF} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 4t + 8 + t - 4 + 4t - 4 \Rightarrow t = 0\) Suy ra \(F\left( {1;2;1} \right) \Rightarrow KF = 6.\,\) d’ cách K khoảng bé nhất khi E thuộc đoạn KF sao cho EF = 3. Khi đó E là trung điểm của \(KF \Rightarrow E\left( { - 1;2;2} \right)\) Do đó \(d':\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.\)
Câu 75: Trong không gian với hê tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng \(d:x - 1 = \frac{y}{2} = z\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - 2t\\z = - 1\end{array} \right.\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Có đúng một đường thẳng cắt và vuông góc với d và d’. B. Có vô số đường thẳng cắt và vuông góc với d và d’. C. Không có đường thẳng nào cắt và vuông góc với d và d’. D. Có đúng hai đường thẳng cắt và vuông góc với d và d’. Spoiler: Xem đáp án Các vtcp của d và d’ lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} =\left( {1;2;1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_2}} =\left( {0; - 2;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} \ne k.\overrightarrow {{u_2}} \)nên \(\,d,d'\)cắt nhau hoặc chéo nhau. Giải hệ phương trình tạo bởi d, d’ \( \Rightarrow \)vô nghiệm \( \Rightarrow d,d'\)chéo nhau. \( \Rightarrow \)Có đúng một đường thẳng cắt và vuông góc với d và d’ đó là đường vuông góc chung của chúng.
Câu 76: Trong không gian Oxyz, cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my - 2mz + 5{m^2} + 9x = 0\). Tìm m để phương trình đó là phương trình mặt cầu. A. \( - 5 < m < 1\,\) B. \(m < - 5\) hoặc \(m > 1\) C. \(m \le - 5\)hoặc \(m \ge 1\) D. m > 1 Spoiler: Xem đáp án \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my - 2mz + 5{m^2} + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left[ {x - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y + 2m} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = {m^2} + 4m - 5\) Để phương trình đó là phương trình mặt cầu thì \({m^2} + 4m - 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 5\end{array} \right..\)
Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ cho , Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;2; - 4} \right)\). Tính \(\overrightarrow a - \overrightarrow b .\) A. 50 B. \(5\sqrt 2 \) C. 3 D. \(2\sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {3;2;1} \right) - \left( { - 2;2; - 4} \right) = \left( {5;0;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{5^2} + {0^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 .\)
Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa trục Oy và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng\(\,8\pi .\) A. \(\,3x + z = 0\) B. \(3x + z + 2 = 0\) C. \(3x - z = 0\) D. \(x - 3z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16 \Rightarrow \left( S \right)\,\)có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\) Bán kính của đường tròn là: \(r = \frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4 = R \Rightarrow \)đường tròn đi qua tâm của mặt cầu (S) Vtcp của Oy là \(\overrightarrow u \left( {0;1;0} \right)\), điểm \(A\left( {0;1;0} \right) \in Oy\) Ta có \(\overrightarrow {IA} \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 3;0;1} \right)\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT\( \Rightarrow \)Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)là: \(\left( \alpha \right): - 3\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0\)hay \(\left( \alpha \right):3x - z = 0.\)
Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 5z + 8 = 0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0,\left( \beta \right):x - 2z - 3 = 0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính \(\varphi \). A. \(45^\circ \) B. \(30^\circ \) C. \(60^\circ \,\) D. \(90^\circ \) Spoiler: Xem đáp án Các VTPT của các mặt phẳng \(\left( P \right),\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right) = 2\left( {2;1;1} \right) \Rightarrow \)VTCP của đường thẳng d là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;1} \right)\) Ta có: \(\sin \varphi = \frac{{\left| {3.2 + 4.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ .\)
Câu 80: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (P). A. \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} - \frac{z}{3} = 1\) B. \(\left( P \right):\frac{x}{1} - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) C. \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) D. \(\left( P \right): - \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
