Câu 81: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\). Tìm tọa độ hình chiếu A' của A trên d. A. \(A'\left( {2;3;1} \right)\) B. \(A'\left( { - 2;3;1} \right)\) C. \(A'\left( {2; - 3;1} \right)\) D. \(A'\left( {2; - 3; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án VTCP của d là \(\overrightarrow u= \left( { - 4; - 1;2} \right)\). Vì \(A' \in d\) nên \(A'\left( {6 - 4t; - 2 - t; - 1 + 2t} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AA'} =\left( {5 - 4t; - 3 - t; - 2 + 2t} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( { - 4} \right)\left( {5 - 4t} \right) - 1\left( { - 3 - t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A'\left( {2; - 3;1} \right)\).
Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {m - 2} \right)y - 2\left( {m + 3} \right)z + 8m + 37 = 0\) là phương trình của một mặt cầu. A. \(m \le - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}m \ge 4\) B. \(m < - 4{\rm{ }} \vee {\rm{ }}m > - 2\) C. \(m < - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}m > 4\) D. \(m < - 4{\rm{ }} \vee {\rm{ }}m > 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {m - 2} \right)y - 2\left( {m + 3} \right)z + 8m + 37 = 0\) là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {m^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} + {\left( {m + 3} \right)^2} - 8m - 37 > 0\)
Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {0;1; - 2} \right)\) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| {MA - MB} \right|\). A. \(\sqrt {14} \) B. \(\sqrt {12} \) C. \(2\sqrt 2 \) D. \(\sqrt 6 \) Spoiler: Xem đáp án Phương trình \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right):z = 0\). Ta có: \(1.\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\). VTPT của \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\) là \(\overrightarrow n= \left( {0;0;1} \right)\). Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Khi đó: \(d \cap \left( {{\rm{Ox}}y} \right) = I\left( {1; - 1;0} \right)\). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\). Ta có: \(A'\left( {1; - 1; - 1} \right)\) Khi đó: \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B = \sqrt 6 \). Vậy \(Max\left| {MA - MB} \right| = \sqrt 6 \Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng.
Câu 84: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t'\\y = t'\\z = 0\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2. A. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) C. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\) D. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16\) Spoiler: Xem đáp án Các VTCP của d1 và d2 lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}}= \left( {2;1;0} \right),\overrightarrow {{u_2}}= \left( { - 1;1;0} \right)\). Gọi MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2. Ta có: \(M\left( {2t;t;4} \right),N\left( {3 - t';t';0} \right)\). \(\overrightarrow {MN} =\left( {3 - t' - 2t;t' - t;4} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3 - t' - 2t} \right).2 + \left( {t' - t} \right).1 - 4.0 = 0\\\left( {3 - t' - 2t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {t' - t} \right).1 - 4.0 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = t' = 1\) \( \Rightarrow M\left( {2;1;4} \right),N\left( {2;1;0} \right),\overrightarrow {MN} =\left( {0;0; - 4} \right)\). Tâm I của (S) là trung điểm của MN:\( \Rightarrow I\left( {2;1;2} \right),R = \frac{{MN}}{2} = 2 \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\).
Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;2} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng AB. A. \(\left( \alpha \right):4x - 2y - 12z - 7 = 0\) B. \(\left( \alpha \right):4x + 2y + 12z + 7 = 0\) C. \(\left( \alpha \right):4x - 2y + 12z + 17 = 0\) D. \(\left( \alpha \right):4x + 2y - 12z - 17 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {BA}= \left( {2;1; - 6} \right)\). Gọi I là trung điểm của AB, ta có \(I\left( {0;\frac{5}{2}; - 1} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: \(\left( \alpha \right):4x + 2y - 12z - 17 = 0\) Hay \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - \frac{5}{2}} \right) - 6\left( {z + 1} \right) = 0\).
Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {3;4;3} \right)\). A. \(\left( \alpha \right):2x + 4y + z - 25 = 0\) B. \(\left( \alpha \right):2x + 2y + z - 17 = 0\) C. \(\left( \alpha \right):4x + 4y - 2z - 22 = 0\) D. \(\left( \alpha \right):x + y + z - 10 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9 \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm I(1;2;2) và bán kính R = 3. Ta có: \(\overrightarrow {IA}= \left( {2;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) là VTPT. Phương trình \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(\left( \alpha \right):2x + 2y + z - 17 = 0\).
Câu 87: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) và \(d':d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = - 1 + 2t'\\z = 2 - 2t'\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. d song song d' B. d trùng d' C. d cắt d' D. d và d' chéo nhau Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow n = (1;1; - 1).\) Đường thẳng d’ có VTCP \(\overrightarrow {n'} = \left( {2;2; - 2} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {n'} = 2.\overrightarrow n \) suy ra d và d' song song hoặc trùng nhau. Mà điểm A(1;2;3) \( \in d\) nhưng \(A \notin d' \Rightarrow \) d // d'.
Câu 88: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\).Với số thực \(\alpha \) , gọi \({d_\alpha }\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{P_\alpha }} \right):\left( {\sin \alpha } \right).x + \left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right).y + \left( {{{\cos }^2}\alpha } \right).z + \sin \alpha = 0\\\left( {{Q_\alpha }} \right):\left( {\cos \alpha } \right).x - \left( {{{\sin }^2}\alpha } \right).y - \left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right).z + \cos \alpha = 0\end{array} \right.\) Tính khoảng cách từ A đến \({d_\alpha }.\) A. \(\sqrt 2 \) B. \(\sqrt 5 \) C. \(\sqrt 3 \) D. 2 Spoiler: Xem đáp án Chọn \(\alpha = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 1\\\cos \alpha = 0\end{array} \right.,\) khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right):x + 1 = 0\\\left( Q \right): - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right):x + 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;0;0} \right)\\\left( Q \right):y = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;1;0} \right)\end{array} \right.\) Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 2;0;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2;0} \right) \Rightarrow d\left( {A,(d)} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|}} = 2.\)
Câu 89: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1,2,3. Hãy tính tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó. A. 12 B. 14 C. 6 D. 10 Spoiler: Xem đáp án Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại). Gọi \(I\left( {a;a;a} \right)\) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R = a. \( \Rightarrow \) phương trình mặt cầu quả bóng là \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} + {\left( {z - a} \right)^2} = {a^2}\) \(\left( 1 \right)\) Giả sử \(M\left( {x,y,z} \right)\) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho \(d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1,d\left( {M;\left( {Oyz} \right)} \right) = 2,d\left( {M;\left( {Oxz} \right)} \right) = 3\) Khi đó \(z = 1;x = 2;y = 3 \Rightarrow M\left( {2;3;1} \right) \in \left( S \right)\) \(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) suy ra \({\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - a} \right)^2} = {a^2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = {a_1} = 3 + \sqrt 2 \\{R_2} = {a_2} = 3 - \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow {d_1} + {d_2} = 2\left( {{R_1} + {R_2}} \right) = 12.\)
Câu 90: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) không đi qua điểm nào dưới đây? A. \(P\left( {\frac{1}{6}; - 1;1} \right)\) B. \(Q\left( {1;2;3} \right)\) C. \(M\left( {\frac{1}{6};1;1} \right)\) D. \(N\left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1.\)
