Câu 131: Tìm tham số m đề phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm. A. \(m = \frac{1}{{4e}}\) B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\) C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\) D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x > 0\) + Với \(m = 0\), phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \(x = 1\) + Với \(m > 0\), xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có với \(x > 0\) thì: \(f'\left( x \right) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\) Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\). Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln \left( {4m} \right) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln \left( {4m} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
Câu 132: Cho biểu thức \(B = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25\) với a dương, khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(B = {a^2} - 4\) B. \(B \ge 2{\rm{a}} - 5\) C. \({\log _{{a^2} - 4}}\left( B \right) = 1\) D. \(B > 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(B = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25 = {3^{{{\log }_3}{a^2}}} - 4{\log _5}a.{\log _a}5 = {a^2} - 4.\)
Câu 133: Cho a, b > 0, rút gọn biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b.\) A. \(P = {\log _2}\left( {\frac{{2b}}{a}} \right)\) B. \(P = {\log _2}\left( {{b^2} - a} \right)\) C. \(P = {\log _2}\left( {a{b^2}} \right)\) D. (P = {\log _2}\left( {\frac{{{b^2}}}{a}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b = {\log _{{2^{ - 1}}}}a + 4{\log _{{2^2}}}b = - {\log _2}a + 2{\log _2}b\\ = - {\log _2}a + {\log _2}{b^2} = {\log _2}\frac{{{b^2}}}{a}.\end{array}\)
Câu 134: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2\) là: A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {{\log }_{\frac{1}{2}}}4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Câu 135: Tính các nghiệm của phương trình \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 = 0\) bằng: A. \(\frac{1}{2}\) B. 2 C. 4 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}^2} - 2{{\log }_2}x - 1 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 1 + \sqrt 2 }\\{{{\log }_2}x = 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {e^{1 + \sqrt 2 }}}\\{x = {2^{1 - \sqrt 2 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {2^{1 + \sqrt 2 }}}\\{{x_2} = {2^{1 - \sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\end{array}\) Suy ra \({x_1}{x_2} = {2^{1 + \sqrt 2 }}{.2^{1 - \sqrt 2 }} = 4\)
Câu 136: Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) B. \(\left( {1; + \infty } \right)\) C. \(\left( {0;1} \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\) TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) Ta có: \(y' = \left[ {\ln \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) \(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1\) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Câu 137: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right).\) A. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} + 4x + 4} \right)\) B. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\) C. \(y' = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\) D. \(y' = {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left[ {{e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right]^\prime } = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {2x - 2} \right){e^{ - x}} = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right).\)
Câu 138: Cho \(0 < x < y < 1\), đặt \(m = \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(m > 4\) B. \(m < 1\) C. \(m = 4\) D. \(m < 2\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln \frac{t}{{1 - t}} - 4t\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}{{t\left( {1 - t} \right)}} \ge 0;\forall t \in \left( {0;1} \right)\). Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Với \(x < y \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x < \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} > 4\left( {y - x} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right) > 4\)
Câu 139: Số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\frac{a}{b} \in \left( {\frac{2}{3};1} \right)\) B. \(\frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) C. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;12} \right)\) D. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;16} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\a + b = {16^t}\left( * \right)\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\) \(\left( * \right) \Leftrightarrow {9^t} + {12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right).\)
Câu 140: Biết rằng bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3\), có tập nghiệm \(S = \left( {{{\log }_a}b; + \infty } \right)\)với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và \(a \ne 1\). Tính \(P = a + 2b.\) A. P=5 B. P=7 C. P=9 D. P=12 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right),t > 1\) \(t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 > 0 \Leftrightarrow 0\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 1\end{array} \right. \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) > 2\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {5^x} + 2 > 4 \Leftrightarrow {5^x} > 2 \Leftrightarrow x > {\log _2}2\\ \Rightarrow S = \left( {{{\log }_2}2; + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 9\end{array}\)
