Câu 151: Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}}\) có mấy nghiệm? A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _2}\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{\log _2}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _2}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x - 3} \,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\) Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {\log _3}t\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {x - 3} \\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5{\rm{x}} + 7 = 0\\x > 3\end{array} \right.\) (vô nghiệm). Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Câu 152: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.\) A. \(\left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\). B. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]\). C. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\). D. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right]\). Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{{1 - 2x}}{x} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 2x}}{x} > 0\\\frac{{1 - 2x}}{x} \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 2x}}{x} > 0\\\frac{{1 - 3x}}{x} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x \ge \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}\end{array}\)
Câu 153: Biết \(\log 3 = a,\,\,\log 7 = b\) thì \(\log 8334900\) tính theo a và b bằng: A. \(3{\rm{a}} + 5b + 2.\) B. \(5{\rm{a}} + 3b + 2.\) C. \(5{\rm{a}} + 3b - 2.\) D. \(8{\rm{a}}b + 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\log 8334900 = \log \left( {{3^5}{{.7}^3}{{.10}^2}} \right) = 5{\rm{a}} + 3b + 2.\)
Câu 154: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\ln \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}.\) A. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\) B. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right].\) C. \(D = \left( { - \infty ;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\) D. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\ln \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}\) xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x \ge 0\\2{\rm{x}} - 1 > 0\\2{\rm{x}} - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\x > \frac{1}{2}\\x \ne 1\end{array} \right.\). Vậy tập xác định là \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Câu 155: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}.\) A. \(y'=\frac{{x - \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\). B. \(y'=\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) . C. \(y'= - \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\). D. \(y'=\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}\). Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{\frac{x}{{x + 1}} - \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{x - \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\)
Câu 156: Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng? A. Có logarit của một số thực bất kì. B. Chỉ có logarit của một số thực dương. C. Chỉ có logarit của một số thực dương khác 1. D. Chỉ có logarit của một số thực lớn hơn 1. Spoiler: Xem đáp án A. Sai, bởi chỉ có logarit của một số dương. B. Đúng. C. Sai, bởi logarit của 1 thì bằng 0. D. Sai, bởi có logarit của một số a thỏa mãn 0 < a < 1.
Câu 157: Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{Min}}\) của biểu thức \(P = 2x - y\) A. \({P_{\min }} = 4\) B. \({P_{\min }} = - 4\) C. \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \) D. \({P_{\min }} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \) Do đó \(P \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y = f\left( y \right)\). Xét hàm số \(f(y)\) ta có: Khi đó: \(\begin{array}{l}P' = \frac{{2y}}{{\sqrt {{y^2} + 4} }} - 1\\P'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\) Suy ra \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \) .
Câu 158: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3.\) A. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\) B. \(S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\) C. \(S = \left\{ 3 \right\}\) D. \(S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\\{{{\log }_2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 3}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{x^2} - 1 = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x = 3 \Leftrightarrow S = \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\end{array}\)
Câu 159: Biết \({\log _6}\sqrt a = 3,\) tính giá trị của \({\log _a}\sqrt 6 .\) A. \(\frac{1}{3}\) B. \(\frac{1}{{12}}\) C. 3 D. \(\frac{4}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _a}\sqrt 6 = \frac{1}{2}{\log _a}6 = \frac{1}{4}{\log _{\sqrt a }}6 = \frac{1}{{4{{\log }_6}\sqrt a }} = \frac{1}{{12}}\)
Câu 160: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m\) có ba nghiệm thực phân biệt. A. \(m \in \left( {0;2} \right)\) B. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\) C. \(m \in \left( { - \infty ;2} \right)\) D. \(m \in \left\{ 2 \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left| {x + 3} \right| = {2^m}}\\{x \ne 0,x \ne - 3}\end{array}} \right.\) Lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) và đường thẳng \(y = {2^m}\) song song trục hoành. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT có bấy nhiêu nghiệm. Xét hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {x + 3} \right|\) bằng cách lấy đối xứng phần dưới trục hoành hoành qua trục hoành. Hai đồ thị có ba giao điểm khi và chỉ khi \({2^m} = 4 \Leftrightarrow m = 2\) Suy ra \(m \in \left\{ 2 \right\}.\)
