Câu 161: Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại A, B, C sao cho C nằm giữa A và B, và \(AC = 2BC\). Khẳng định nào dưới đây đúng? A. \(b = \frac{a}{2}\) B. \(b = 2a\) C. \(b = {a^{ - 2}}\) D. \(b = {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Tọa độ ba điểm A, B, C lần luợt là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {{{\log }_a}2;2} \right)}\\{B\left( {{{\log }_b}2;2} \right)}\\{C\left( {0;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}}}\\{BC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}}}\\{AB = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|}\end{array}} \right.\) Vì \(AC = 2BC \Rightarrow \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}} = \frac{2}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}} \Rightarrow \log _2^2b = 4\log _2^2a \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^2}}\\{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = {a^2}}\\{b = {a^{ - 2}}}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\) Mặt khác C nằm giữa A và B \( \Rightarrow AB = AC + BC \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|\left( * \right)\) Ta có \(\left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \ge \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\log }_2}b.{{\log }_2}a}} > 0\) \( \Leftrightarrow {\log _2}b.{\log _2}a < 0\left( 2 \right)\) Từ (1), (2) \( \Rightarrow b = {a^{ - 2}}\).
Câu 162: Cho a, b là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây đúng? A. \({\log _b}a + {\log _a}b < 0\) B. \({\log _b}a > 1\) C. \({\log _a}b > 0\) D. \({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\) Spoiler: Xem đáp án Do \(0 < a < 1 < b\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _b}a < 0\\{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\end{array} \right. < 0 \Rightarrow {\log _b}a + {\log _a}b < 0\)
Câu 163: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _a}b = 2.\) Tính \({\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\left( {\sqrt[3]{b}a} \right).\) A. \( - \frac{{10}}{9}.\) B. \(\frac{2}{3}.\) C. \( - \frac{2}{9}.\) D. \(\frac{2}{{15}}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\left( {\sqrt[3]{b}.a} \right) = \frac{1}{3}{\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}b + {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}a = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{{\log }_b}\left( {\frac{{\sqrt a }}{b}} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {\frac{{\sqrt a }}{b}} \right)}}\\ = \frac{1}{{3\left( {{{\log }_b}\sqrt a - {{\log }_b}b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\sqrt a - {{\log }_a}b}}\end{array}\) \( = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{2}{{\log }_b}a - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - {{\log }_a}b}} = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{4} - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - 2}} = - \frac{{10}}{9}.\)
Câu 164: Trong hệ thập phân, số \({2016^{2017}}\) có bao nhiêu chữ số? A. 2017 B. 2018 C. 6666 D. 6665 Spoiler: Xem đáp án \(\log {2016^{2017}} + 1 = 2017\log 2016 + 1 = 6666,157395\) suy ra số chữ số của \({2016^{2017}}\) là 6666.
Câu 165: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\log _2}\left[ {\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 3} \right)} \right]\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\) A. \(m \le - 2.\) B. \(m > - 2.\) C. C. \(m < - 2.\) D. \(m \ge - 2.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 3} \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\,TH1:\,\,m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 5 > 0.\\ \bullet \,\,\,TH2:\,\,m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2 \Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{\Delta '} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\{\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2.\end{array}\) Kết hợp hai trường hợp ta nhận: \(m \ge - 2.\)
Câu 166: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1.\) A. 4 B. -6 C. 12 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3.2^x} - 1 > 0\\{3.2^x} - 1 = {4^{x - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - {\log _2}3\,(1)\\\frac{{{2^{2{\rm{x}}}}}}{4} - {3.2^x} + 1 = 0(*)\end{array} \right.\) Đặt \(t = {2^x},\) (*) trở thành: \(\begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{4} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6 - 4\sqrt 2 \\t = 6 + 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 6 - 4\sqrt 2 (Thoa\,\,(1))\\{2^x} = 6 + 4\sqrt 2 \,(Thoa\,(1))\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\x = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\{x_2} = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left[ {\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)} \right] = {\log _2}4 = 2\end{array}\)
Câu 167: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right).\) A. \(S = \left( {1;2} \right).\) B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) D. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\3{\rm{x}} - 3 > 0\\{x^2} - 1 > 3{\rm{x}} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 2 \Leftrightarrow S = \left( {2; + \infty } \right).\end{array}\)
Câu 168: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{{1 - 2{\rm{x}}}}} \right).\) A. \(y' = \frac{2}{{x\ln 4 - \ln 2}}.\) B. \(y' = \frac{2}{{\ln 2 - x\ln 4}}.\) C. \(y' = \frac{2}{{x\ln 2 - \ln 4}}.\) D. \(y' = \frac{2}{{\ln 4 - x\ln 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{1 - 2{\rm{x}}}}} \right)} \right]^\prime } = - {\left[ {{{\log }_2}\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} \right]^\prime } = \frac{2}{{\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)\ln 2}} = \frac{2}{{\ln 2 - x\ln 4}}.\)
Câu 169: Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2.\) A. -20 B. -8 C. 3 D. -6 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| > 0}\\{\left| {x + 1} \right| = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{x + 1 = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{x + 1 = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 2}\\{{x_2} = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = - 8\end{array}\)
Câu 170: Cho \({\log _a}b = \sqrt 3 .\) Tình \({\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}.\) A. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}\) B. \(\sqrt 3 + 1\) C. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 2}}\) D. \(\sqrt 3 - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }} = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt b - {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt a = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt b }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}} - \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt a }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_b}\sqrt b - {{\log }_b}a} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {{{\log }_a}\sqrt b - {{\log }_a}a} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2}{{\log }_a}b - 1} \right)}}\end{array}\) \( = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}.\)
