Câu 171: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\ln x.\) A. lnx B. \(\frac{{x - 1}}{x}\) C. \(\frac{{x - 1}}{x} + \ln x\) D. \(\frac{{x - 1}}{x} - \ln x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left[ {\left( {x - 1} \right)\ln x} \right]' = \ln x + \frac{{x - 1}}{x}.\)
Câu 172: Cho \({\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\). Tìm x. A. \({a^{\frac{3}{2}}}.{b^{\frac{1}{5}}}\) B. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\) C. \(\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\) D. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^5}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} - {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}}\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\end{array}\)
Câu 173: Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right).\) A. 1009 nghiệm B. 1008 nghiệm C. 2017 nghiệm D. 2018 nghiệm Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cot x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\) Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\cot x} \right)}^2} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x}\end{array} = {4^t}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 = 0\) Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4} > 0\) suy ra có tối đa 1 nghiệm. Nhận thấy \(f\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = - 1\) là nghiệm của phương trình \( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) (do đk (1)) Ta có: \(0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017 \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\). Do k nguyên nên có 1009 giá trị của k thỏa yêu cầu.
Câu 174: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {1;64} \right).\) A. \(m < 0\) B. \(m \le 0\) C. \(m \ge 0\) D. \(m > 0\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x > 0\) \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x \ge - m\left( 1 \right)\) Đặt \(t = {\log _2}\sqrt x \). Khi \(x \in \left( {1;64} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( {0;3} \right)\). Ta có bất phương trình \(4{t^2} + 2t \ge - m\) Xét \(f\left( t \right) = 4{t^2} + 2t;f'\left( t \right) = 8t + 2 > 0\) với \(\forall t \in \left( {0;3} \right)\). Vậy phương trình có nghiệm khi \( - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0.\) .
Câu 175: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1.\) A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\) B. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right)\) C. \(S = \left[ { - 2;1} \right)\) D. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 > 0}\\{1 - x > 0}\\{\log \left( {1 - x} \right) \ne 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\\{x < 1}\\{1 - x \ne 1}\end{array}} \right. \Rightarrow x < - 1\) Ta có \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1 \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 1} \right) \le \log \left( {1 - x} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 \le 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0.\) Kết hợp với điều kiện ta suy ra \(S = \left[ { - 2; - 1} \right).\)
Câu 176: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right).\) A. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\) B. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\) C. \(S = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{5 - 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right) \Leftrightarrow x - 1 < 5 - 2x \Leftrightarrow x < 2\). Kết hợp với điều kiện suy ra \(S = \left( {1;2} \right)\)
Câu 177: Tính giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}\left( {1 + x} \right)}}{x}\) A. \(A = e\) B. \(A = \ln 2\) C. \(A = {\log _2}e\) D. \(A = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}e.\ln \left( {x + 1} \right)}}{x} = {\log _2}e.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x} = {\log _2}e.1 = {\log _2}e.\)
Câu 178: Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng? A. Đồ thị (C) có tiệm cận đứng B. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang C. Đồ thị (C) cắt trục tung D. Đồ thị (C) không cắt trục hoành Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \log x\)nhận đường thẳng x=0 làm tiệm cận đứng.
Câu 179: Tính giá trị của biểu thức \(A = {\log _a}\frac{1}{{{a^2}}}\), với \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) A. \(A = - 2\) B. \(A = - \frac{1}{2}\) C. \(A = 2\) D. \(A = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(A = {\log _a} = \frac{1}{{{a^2}}} = {\log _a}{a^{ - 2}} = - 2.{\log _a}a = - 2\)
Câu 180: Giả sử p và q là hai số dương sao cho \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right).\) Tìm giá trị \(\frac{p}{q}.\) A. \(\frac{8}{5}.\) B. \(\frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\) C. \(\frac{4}{5}.\) D. \(\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = {16^t}\\q = {20^t}\\p + q = {25^t}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{p}{q} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t}\) Ta có: \(\begin{array}{l}p + q = {25^t} \Leftrightarrow {16^t} + {20^t} = {25^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{p}{q} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
