Câu 181: Phương trình \(3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3{\rm{x}} - 1 = 0\) có tổng các nghiệm bằng: A. 3 B. 81 C. 84 D. 78 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3{\rm{x}} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}x \ge 0\\3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{{\log }_3}x} = 1\\\sqrt {{{\log }_3}x} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 81\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 81\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 84.\end{array}\)
Câu 182: Cho \(x,y > 0;\,\,{\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3}\) và \(xy = 144\) thì \(P = \frac{{x + y}}{2}\) bằng: A. 24 B. 30 C. \(12\sqrt 2 .\) D. \(13\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {\log _y}x + \frac{1}{{{{\log }_y}x}} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow \log _y^2x - \frac{{10}}{3}{\log _y}x + 1 = 0\) Đặt: \(t = {\log _y}x,\) phương trình trở thành: \({t^2} - \frac{{10}}{3}t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _y}x = 3\\{\log _y}x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {y^3}\\y = {x^3}\end{array} \right.\,\,\) Ta có: \(xy = 144 \Rightarrow {x^4} = 144 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\y = 24\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{x + y}}{2} = 13\sqrt 3 .\)
Câu 183: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên? A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + 5 \ge 2{{\rm{x}}^2} + x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\end{array}\)
Câu 184: Nếu \({\log _8}3 = p\) và \({\log _3}5 = q\) thì \(\log 5\) bằng: A. \(\frac{{1 + 3pq}}{{p + q}}.\) B. \(\frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}.\) C. \({p^2} + {q^2}.\) D. \(\frac{{3p + q}}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \log 5 = \frac{1}{{{{\log }_5}10}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}5}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} + 1}}\\ = \frac{1}{{\frac{1}{{3{{\log }_3}5.{{\log }_8}3}} + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{3pq}} + 1}} = \frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}. \end{array}\)
Câu 185: Kết quả rút gọn của biểu thức \(A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right) - {\log _b}a\) với điều kiện biểu thức tồn tại là: A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - \frac{1}{{1 + {{\log }_b}a}}} \right) - {\log _b}a.\) Đặt \({\log _b}a = t \Rightarrow A = \left( {{t^3} + 2{t^2} + t} \right)\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 + t}}} \right) - t = t{\left( {t + 1} \right)^2}\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}} - t = t + 1 - t = 1.\)
Câu 186: Cho \({\log _{27}}5 = a,{\log _8}7 = b,{\log _2}3 = c\). Tính \({\log _{12}}35\) A. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\). B. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\). C. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\). D. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5,b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7\) \({\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}({{3.2}^2})}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}{2^2}}} = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}.\)
Câu 187: Tập nghiệm của bất phương trình\({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right).\) A. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\). B. \(\left( { - 4;1} \right)\). C. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\). D. \Một kết quả khác. Spoiler: Xem đáp án ĐK:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1;x > 0\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;2} \right)\) \({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x > - 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 > 0 \Leftrightarrow x < - 4,x > 1.\) Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là\(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 188: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)? A. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2}}.\) B. \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\) C. \(y = {\log _3}x.\) D. \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có hàm số \(y = {a^x},y = {\log _a}x\) đồng biến trên tập xác định nếu \(a > 1\). Do đó hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 189: Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2.\) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} - 1 > 0\\{2^x} - 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {\log _2}\frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{5}{4}\).
Câu 190: Tìm giá trị của a để hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) A. \(a > 1\). B. \(a > - 1\). C. \(0 < a < 1\). D. \(0 < a \ne 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi\(2a + 3 > 1 \Leftrightarrow a > - 1\).
