Câu 11: Cho biết: \({\log _{25}}7 = a\) và \({\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8}\) theo a,b. A. \(\frac{{2(ba - 3)}}{b}\) B. \(\frac{{ - 4ba + 3}}{b}\) C. \(\frac{b}{{4ab + 1}}\) D. \(\frac{{3(4ab - 3)}}{b}\) Spoiler: Xem đáp án Theo đề bài có a, b > 0. Ta có: \({\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = {\log _{{5^{\frac{1}{3}}}}}\frac{{49}}{8} = 3({\log _5}{7^2} - {\log _5}{2^3}) = 3(2{\log _5}7 - 3{\log _5}2).\,\,(*)\) Theo giả thiết: \({\log _{25}}7 = a \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _5}7 = a \Leftrightarrow {\log _5}7 = 2a.\,\,(**)\) \({\log _2}5 = b \Leftrightarrow {\log _5}2 = \frac{1}{b}.\) (***) Thay (**) và (***) vào (*) ta được: \({\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = 3(2{\log _5}7 - 3{\log _5}2) = 3\left( {2.2a - 3\frac{1}{b}} \right) = \frac{{3(4ab - 3)}}{b}\) Vậy \({\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8} = \frac{{3(4ab - 3)}}{b}\)
Câu 12: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}({x^2} + 1).\) A. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2}}\) B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)}}\) C. \(y' = \frac{1}{{({x^2} + 1)\ln 2}}\) D. \(y' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}({x^2} + 1)\) là \(y' = \frac{{({x^2} + 1)'}}{{({x^2} + 1).\ln 2}} = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1).\ln 2}}\) Nhận dạng sai hoặc nhớ nhầm công thức sẽ dẫn đến các cách lựa chọn sai: + Chọn B vì áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm y=lnu(x) + Chọn C vì áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm \(y = {\log _a}x\) + Chọn D vì áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm y=lnx.
Câu 13: Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(4x - 2) \ge - 2.\) A. \(T = \left[ { \frac{3}{2}; + \infty } \right).\) B. \(T = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right].\) C. \(\left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right].\) D. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}(4x - 2) \ge - 2 \Leftrightarrow 0 < 4x - 2 \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}}\\ \Leftrightarrow 0 < 4x - 2 \le 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right].\)
Câu 14: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\). Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là: A. \(\left\{ {{e^2}; \pm 1} \right\}\) B. \(\left\{ {{e^2}} \right\}\) C. \(\left\{ {{e^2};1} \right\}\) D. \(\left\{ {e;{e^2}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\ln x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{2\ln x - {{\ln }^2}x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ln x = 0}\\{\ln x = 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = {e^2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = {e^2}}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow S = \left\{ {{e^2};1} \right\}.\)
Câu 15: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình \(\frac{{1 - {{\log }_{0,5}}\left( { - x} \right)}}{{\sqrt { - 2 - 6x} }} < 0\) là: A. \(\left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right]\) B. \(\left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right)\) C. \(\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right)\) D. \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\frac{{1 - {{\log }_{0,5}}\left( { - x} \right)}}{{\sqrt { - 2 - 6x} }} < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x > 0}\\{ - 2 - 6x > 0}\\{1 - {{\log }_{0,5}}\left( { - x} \right) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{x < - \frac{1}{3}}\\{{{\log }_{0,5}}\left( { - x} \right) > 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - \frac{1}{3}}\\{ - x < \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - \frac{1}{3}}\\{x > - \frac{1}{2}}\end{array} \Rightarrow S = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right)} \right..\end{array}\)
Câu 16: Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\log x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 63} }}\) là: A. \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) B. \(\left( {9;10} \right)\) C. \(\left( {0; + \infty } \right)\) D. \(\left( {9; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} - 2x - 63 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 9}\\{x < - 7}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x > 9 \Leftrightarrow D = \left( {9; + \infty } \right)} \right.} \right..\)
Câu 17: Cho a > 0, b >0, b ¹ 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _b}x\) và \(y = {a^x}\) được cho như hình vẽ sau đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(a > 1;0 < b < 1\) B. \(0 < a < 1;b > 1\) C. \(0 < a < 1;0 < b < 1\) D. \(a > 1;b > 1\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hai hàm số ta thấy: Hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra \(0 < b < 1.\) Hàm số \(y = {a^x}\)đồng biến trên R, suy ra \(a > 1.\)
Câu 18: Đặt \({\log _{12}}6 = a,{\log _{12}}7 = b.\) Hãy biểu diễn \({\log _2}7\) theo a và b. A. \(\frac{b}{{1 + a}}.\) B. \(\frac{a}{{1 - b}}.\) C. \(\frac{a}{{1 + b}}.\) D. \(\frac{b}{{1 - a}}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}b = {\log _{12}}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}2 + {{\log }_7}6}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2 + \frac{{{{\log }_{12}}6}}{{{{\log }_{12}}7}}}}\\ \Rightarrow {\log _7}2 = \frac{1}{b} - \frac{a}{b} \Rightarrow {\log _2}7 = \frac{b}{{1 - a}}.\end{array}\)
Câu 19: Cho số thực \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) Tính \(P = {\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt {{a^{12}}} .\) A. \(P = \frac{1}{6}.\) B. \(P = - 12.\) C. \(P = - 6.\) D. \(P = 6.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(P = {\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt {{a^{12}}} = {\log _{{a^{ - 1}}}}{a^6} = - 6.\)
Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right).\) A. \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) B. \(D = \left[ { - 2;2} \right].\) C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}.\) D. \(D = \left( { - 2;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow D = \left( { - 2;2} \right).\)
