Câu 191: Cho \(0 < a < b < 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _b}a > {\log _a}b.\) B. \({\log _a}b < 0.\) C. \({\log _b}a < {\log _a}b.\) D. \({\log _a}b > 1.\) Spoiler: Xem đáp án Do \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Đáp án B sai, vì: Với \(b < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow {\log _a}b > 0\). Đáp án D sai, vì: Với \(a < b \Rightarrow {\log _a}a > {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b < 1\). Với \(0 < a < b < 1\) ta có \(0 < {\log _a}b < 1\). Đáp án C sai, vì: Nếu \({\log _b}a < {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} > 1\) (vô lí). Đáp án A đúng, vì: Nếu \({\log _b}a > {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} > {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} < 1\) (luôn đúng).
Câu 192: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\). A. \(D = \left[ { - 2, - 1} \right].\) B. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 1, + \infty } \right)\). C. \(D = \left( { - 2, - 1} \right)\). D. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ { - 1, + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \({x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).
Câu 193: Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây A. \(2{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\). B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\). C. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\). D. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\). Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
Câu 194: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\) A. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\). B. \(S = \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right]\). C. \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\). D. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có: \(\begin{array}{l}{\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _2}{\left( {2x + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 2} \right)}} \ge {(2x + 3)^2} \Leftrightarrow - 2 < x \le - 1\end{array}\) Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\).
Câu 195: Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\) là A. \(x < - \frac{3}{2}\). B. \(x > - \frac{3}{2}\). C. \( - 1 < x < 0\) hoặc \(x > 0\). D. \( - \frac{3}{2} < x \le - 1\) . Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \(x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {\left( {2x + 3} \right).\left( {x + 2} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} < 2{x^2} + 7x + 6 \Leftrightarrow x > - 1\) So với điều kiện \(x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Câu 196: Đặt \({\log _3}5 = a\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \({\log _{15}}75 = \frac{{a + 1}}{{2a + 1}}\). B. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\). C. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a - 1}}{{a + 1}}\). D. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a - 1}}\). Spoiler: Xem đáp án \({\log _{15}}75 = {\log _{15}}{5^2} + {\log _{15}}3 = 2{\log _{15}}5 + {\log _{15}}3\)\( = \frac{2}{{{{\log }_5}5 + {{\log }_5}3}} + \frac{1}{{{{\log }_3}5 + {{\log }_3}3}}\)\( = \frac{2}{{1 + {a^{ - 1}}}} + \frac{1}{{a + 1}}\) Thu gọn ta có \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
Câu 197: Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\). A. \(S = \left\{ {16} \right\}\). B. \(S = \left\{ {18} \right\}\) C. \(S = \left\{ {10} \right\}\). D. \(S = \left\{ {14} \right\}\). Spoiler: Xem đáp án \({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\{\log _4}\left( {x - 2} \right) = {\log _4}{4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x - 2 = {4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 18\).
Câu 198: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\). A. \(D = \left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)\). B. \(D = \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\). C. \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\). D. \(D = \left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\) xác định khi \(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\).
Câu 199: Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Khẳng định nào sau đây sai? A. Tập xác định của hàm số là \(\left( {0; + \infty } \right)\) B. Tập giá trị của hàm số là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) C. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x\) D. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại hai điểm phân biệt Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên A đúng. Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R} \Rightarrow \) B đúng Xét \({\log _2}x = x - 1 \Leftrightarrow x = {2^{x - 1}} \Leftrightarrow 2x = {2^x},\) phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x = 1,x = 2 \Rightarrow D\) đúng. Vậy C là khẳng định sai. Thật vậy: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta dễ dàng chứng mình được \({2^x} > x,\forall x \Rightarrow x = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^x}\) vô nghiệm.
Câu 200: Tập xác định của hàm số \(y = \ln \left( {1 - \sqrt {x + 1} } \right)\) A. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - 1;0} \right)\) C. \(\left[ { - 1;0} \right]\) D. \(\left[ { - 1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho xác định khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{1 - \sqrt {x + 1} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{\sqrt {x + 1} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x + 1 < 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x < 0\)
