Câu 201: Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\) là: A. \( - 1 \le x \le 0\) B. \( - 1 < x \le 0\) C. \( - 1 < x \le 1\) D. \(x \le 0\) Spoiler: Xem đáp án ĐK:\(x > - 1\). Khi đó: \(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\sqrt {x + 1} \le 0\end{array}\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\) Do đó nghiệm của BPT là: \( - 1 < x \le 0.\)
Câu 202: Cho hai số thực dương x, y bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = 2{\log _2}x + {\log _2}y\) B. \({\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = 2{\log _2}x.{\log _2}y\) C. \({\log _2}\frac{{{x^2}}}{y} = \frac{{2{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\) D. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = {\log _2}x + 2{\log _2}y\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = {\log _2}{x^2} + {\log _2}y = 2{\log _2}x + {\log _2}y\)
Câu 203: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4\log _4^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};4} \right].\) A. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};9} \right].\) B. \(m \in \left[ {2;6} \right].\) C. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};15} \right].\) D. \(m \in \left[ {2;3} \right].\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}4\log _4^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)^2} - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\end{array}\) Đặt \(t = {\log _2}x,\,\,do\,\,x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right].\) Khi đó: \({t^2} - 2t - 3 - m = 0 \Leftrightarrow m = {t^2} - 2t + 3\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3,\,\,t \in \left[ { - 1;2} \right].\) Ta có: \(f'\left( t \right) = 2t - 2;\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\) Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 6;\,\,f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( 2 \right) = 3\) do đó phương trình có nghiệm thì \(2 \le m \le 6.\)
Câu 204: Cho \({\log _7}12 = x;\,\,{\log _{12}}24 = y;\,\,{\log _{54}}168 = \frac{{{\rm{ax}}y + {\rm{1}}}}{{b{\rm{x}}y + c{\rm{x}}}},\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(S = a + 2b + 3c.\) A. \(S = 4.\) B. \(S = 10.\) C. \(S = 19.\) D. \(S = 15.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\log _7}12 = x\\{\log _{12}}24 = y\end{array} \right. \Rightarrow xy = {\log _7}12.{\log _{12}}24 = {\log _7}24\\ \Rightarrow {\log _{54}}168 = \frac{{{{\log }_7}168}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{{{\log }_7}\left( {24.7} \right)}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{{{\log }_7}24 + {{\log }_7}7}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{xy + 1}}{{{{\log }_7}54}} \Rightarrow a = 1.\\ \bullet \,\,b{\rm{x}}y + c{\rm{x}} = {\log _7}54 \Leftrightarrow b{\log _7}24 + c{\log _7}12 = {\log _7}54 \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{{24}^b}{{.12}^c}} \right) = {\log _7}54\\ \Leftrightarrow {24^b}{.12^c} = 54 \Leftrightarrow c = {\log _{12}}\frac{{54}}{{{{24}^b}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 5} \right) + 3.8 = 15.\end{array}\)
Câu 205: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)} .\) A. \(D = \left[ {1; + \infty } \right).\) B. \(D = \left( {1; + \infty } \right).\) C. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right).\) D. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 1 > 0\\{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\2{\rm{x}} - 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le 1.\)
Câu 206: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2 + {3^x}} \right).\) A. \(y = \frac{{{3^x}\ln 3}}{{2 + {3^x}}}.\) B. \(y = \frac{{{3^x}}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\) C. \(y = \frac{{{3^x}}}{{2 + {3^x}}}.\) D. \(y = \frac{1}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2 + {3^x}} \right)'}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}} = \frac{{{3^x}\ln 3}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}} = \frac{{{3^x}}}{{2 + {3^x}}}.\)
Câu 207: Số nào dưới đây lớn hơn 1? A. \({\log _\pi }e.\) B. \({\log _3}2.\) C. \({\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}.\) D. \(\ln 3.\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _a}b > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < a < b\\ 0 < b < a < 1 \end{array} \right..\)
Câu 208: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right),t \ge 0\) (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%. A. Sau khoảng 23 tháng. B. Sau khoảng 24 tháng. C. Sau khoảng 25 tháng. D. Sau khoảng 22 tháng. Spoiler: Xem đáp án Giải bất phương trình: \(75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) < 10 \Leftrightarrow 20\ln \left( {t + 1} \right) > 65 \Leftrightarrow \ln \left( {t + 1} \right) > \frac{{13}}{4}\) \( \Leftrightarrow \ln \left( {t + 1} \right) > \frac{{13}}{4} \Leftrightarrow t > {e^{\frac{{13}}{4}}} - 1 \approx 25.\)
Câu 209: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2.\) A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {\frac{5}{4}; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {1;\frac{5}{4}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x - 1 > 0\) hay \(x > 1\) \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow x - 1 < 0,{5^2} \Leftrightarrow x < \frac{5}{4}\) Kết hợp ta có \(1 < x < \frac{5}{4}.\)
Câu 210: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\) có nghiệm thực trong đoạn \(\left[ {\frac{5}{4};4} \right]\). A. \(m > \frac{7}{3}\) B. \( - 3 < m < \frac{7}{3}\) C. \( - 3 \le m \le \frac{7}{3}\) D. \(m < - 3\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _2^2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {m - 5} \right){\log _2}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 = 0\) Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 2} \right);x \in \left[ {\frac{5}{4};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]\). Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) Ta có \(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4\left( {m - 5} \right)t + 4m - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {4{t^2} + 4t + 4} \right) = 4{t^2} + 20t + 4\) \( \Leftrightarrow m = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}} = f\left( t \right)\). Xét \(f\left( t \right) = 1 + \frac{{4t}}{{{t^2} + t + 1}};f'\left( t \right) = - \frac{{4({t^2} - 1)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\) \(f\left( { - 2} \right) = - \frac{5}{3};f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = \frac{7}{3},\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) = - 3\) Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)
