Câu 211: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1.\) A. \(x = 8\) B. \(x = 9\) C. \(x = 6\) D. \(x = 2\) Spoiler: Xem đáp án Cách giải: Điều kiện \(x > 1\) Ta có \(lo{g_3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = {3^1} \Leftrightarrow x = {2^3} = 8.\)
Câu 212: Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\) B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\) C. \(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\) D. \(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\) Spoiler: Xem đáp án Quy tắc tính logarit một tích, một thương: \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\) \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\)
Câu 213: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.\) A. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) B. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) C. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) D. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án \( y' = \left( {\ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)'}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}} = \frac{{\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}} = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}. \)
Câu 214: Cho \(a = {\log _{25}}7;b = {\log _2}5\) . Tính \({\log _5}\frac{{49}}{8}\) theo a, b. A. \(\frac{{5ab - 3}}{b}\) B. \(\frac{{4ab + 3}}{b}\) C. \(\frac{{4ab - 3}}{b}\) D. \(\frac{{4ab - 5}}{b}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{25}}7 = \frac{1}{2}{\log _5}7 = a \Rightarrow {\log _5}7 = 2a\); \({\log _2}5 = b \Rightarrow {\log _5}2 = \frac{1}{b}\) \({\log _5}\frac{{49}}{8} = {\log _5}49 - {\log _5}8 = 2{\log _5}7 - 3{\log _5}2 = 4a - \frac{3}{b} = \frac{{4ab - 3}}{b}.\)
Câu 215: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^{ - z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ - z}} + 2} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) A. \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right).\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) D. \(\left( {0;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _2}\left( {{5^{ - z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ - z}} + 2} \right) = m \Leftrightarrow {\log _2}({5^{ - z}} + 1)\left[ {1 + {{\log }_2}({5^{ - z}} + 1)} \right] = m.\) Đặt \(t = {\log _2}({5^{ - z}} + 1) \Rightarrow m = t(t + 1) = f\left( t \right)\) Với \(z \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}t > {\log _2}1 = 0\\t < {\log _2}2 = 1\end{array} \right. \Rightarrow t \in (0;1).\) Xét hàm số \(f(t) = t(t + 1)\) trên (0;1) Ta có: \(f'(t) = 2t;\,\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.\) Vậy phương trình có nghiệm \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi: \(f\left( 0 \right) < m < f\left( 1 \right)\) hay \(0 < m < 2.\)
Câu 216: Cho \({\log _2}3 = a;{\log _3}5 = b.\) Tính \({\log _5}30\) theo a, b? A. \({\log _5}30 = \frac{{ab - b + 1}}{{ab}}.\) B. \(\frac{{ab + a + 1}}{{ab}}.\) C. \({\log _5}30 = \frac{{ab + b + 1}}{{ab}}.\) D. \({\log _5}30 = \frac{{ab - a + 1}}{{ab}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _5}30 = \frac{{{{\log }_3}30}}{{{{\log }_3}5}} = \frac{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}10}}{b} = \frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}{b} = \frac{{1 + \frac{1}{a} + b}}{b} = \frac{{ab + a + 1}}{{ab}}.\)
Câu 217: Với các số thực dương a, b bất kỳ và \(a \ne 1.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({b^{{{\log }_b}a}} = b.\) B. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\) C. \({\log _a}b = \ln a + \ln b.\) D. \({\log _a}b = \frac{{\log a}}{{\log b}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\) là công thức đúng. A, C, D sai vì: \({b^{{{\log }_b}a}} = a.\) \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\) \({\log _a}b = \frac{{{\mathop{\rm logb}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm loga}\nolimits} }}.\)
Câu 218: Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_2a - 3{\log _2}b.\) B. \(\ln \frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\ln 3 + 2\ln b - 3\ln b.\) C. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\log 3 + 2\log a - 3\log b.\) D. \({\log _3}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_3a - 3{\log _3}b.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = {\log _2}(9{a^2}) - {\log _2}({b^3}) = 2{\log _2}3 + 2{\log _2}a - 3{\log _2}b\) nên A sai.
Câu 219: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{3^{3x - 1}} - 1} \right) = 3.\) A. \(x = 2.\) B. \(x = 1.\) C. \(x = \frac{8}{3}.\) D. \(x = \frac{1}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \({3^{3x - 1}} - 1 > 0.\) Phương trình tương đương: \({2^{3x - 1}} - 1 = 8 \Leftrightarrow {3^{3x - 1}} = 9 \Leftrightarrow 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1.\)
Câu 220: Cho \(0{\rm{ }} < a,b \ne 1,\,\,\,x\) và y là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\) B. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\) C. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) D. \({\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\) Spoiler: Xem đáp án Với \(0{\rm{ }} < a,b \ne 1,\) x và y là hai số dương ta có: \({\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} = {\log _a}x.{\log _b}a\) A, B, C là các công thức sai. \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y.\) \({\log _a}\frac{1}{x} = - {\log _a}x.\)
