Câu 221: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right).\) A. \(D = (0; + \infty )\) B. \(D=(-\infty ;0)\) C. \(D=(2;3)\) D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(- {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\)
Câu 222: Tính đạo hàm hàm số \(y = x{\rm{ln}}x.\) A. \(y' = {\rm{ln}}x\) B. \(y' = {\rm{ln}}x{\rm{ }} + 1\) C. \(y' = {\rm{ln}}x-1\) D. \(y' = x{\rm{ln}}x + {\rm{ln}}x\) Spoiler: Xem đáp án \(y = x{\rm{ln}}x \Rightarrow y' = (x\ln x)' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1.\)
Câu 223: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right).\) A. \(S=(1;4)\) B. \(S=(-1;2)\) C. \(S=(5;+\infty )\) D. \(S=(-\infty ;1)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện x>-1. Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _4}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}(x + 7) > {\log _2}(x + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow x + 7 > {(x + 1)^2} \end{array}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 2) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2\) Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: \(S=(-1;2)\)
Câu 224: Cho \({\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{12}}90\) tính theo a, b. A. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a + 1}}{{a + 2}}\) B. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a - 2}}\) C. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a - 1}}{{a + 2}}\) D. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a + 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _2}3.{\log _3}5 = {\log _2}5 = ab\) Ta có: \({\log _{12}}90 = \frac{{{{\log }_2}90}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2} + {{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2a + ab}}{{a + 2}}.\)
Câu 225: Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số có tập xác định là \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}\) B. \(y' = - \frac{1}{{x\ln 5}}.\) C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. D. Đồ thị hàm số nhận tiệm cận đứng là trục Oy. Spoiler: Xem đáp án Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty ).\)
Câu 226: Tìm số nghiệm của phương trình là \({\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0.\) A. Vô nghiệm. B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3 > 0}\\ {6x - 10 > 0}\\ {{{\log }_2}\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = - 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {2{x^2} - 6x + 4 = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Rightarrow x = 2 \end{array}\)
Câu 227: Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1.\) Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0.\) A. \({\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)^2}\) B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {10} - \sqrt 2 }\\ {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \end{array}} \right.\) C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}^2}}\\ {{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)}^2}} \end{array}} \right.\) D. \(\sqrt {10} - \sqrt 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1\) \(\Leftrightarrow 4x + 4y - 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow 2 \ge {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2}\;(1)\) Lại có \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m \ge 0)\) Với \(m = 0 \Rightarrow x = - 1;y = 1\) không thõa mãn (1). Khi đó gọi M(x;y) thỏa mãn giả thiết bài toán thì điểm m nằm trong hoặc trên đường tròn \({(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 2\) và nằm trên đường tròn \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = m\;(m > 0)\) Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hai đường tròn tiếp xúc nhau: Gọi I(2;2), \(R = \sqrt 2\) và I’(-1;1), \(R' = \sqrt m\) lần lượt là lượt là tâm và bán kính của hai đường tròn. Ta có điều kiện tiếp xúc: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R + R' = II'}\\ {\left| {R - R'} \right| = II'} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 + \sqrt m = \sqrt {10} }\\ {\left| {\sqrt 2 - \sqrt m } \right| = \sqrt {10} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10} \pm \sqrt 2 } \right)^2}\)
Câu 228: Tìm m để bất phương trình \(1 + {\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)thỏa mãn với mọi \(x\in \mathbb{R}.\) A. \(- 1 < m \le 0\) B. \(- 1 < m < 0\) C. \(2 < m \le 3\) D. \(2 < m < 3\) Spoiler: Xem đáp án Phương nghiệm đúng với \(\forall x \in\mathbb{R}\) nên \(m{x^2} + 4x + m > 0\;(\forall x \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\Delta ' = 4 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow m \in (2; + \infty )\) Khi đó \(\log 5 + \log ({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\) \(\Leftrightarrow \log 5({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\) \(\Leftrightarrow 5({x^2} + 1) \ge m{x^2} + 4x + m\;(\forall x \in ) \Leftrightarrow (5 - m){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0\;(\forall x \in \mathbb{R})\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - m > 0}\\ {\Delta = 4 - {{(5 - m)}^2} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3\) Vậy \(2 < m \le 3\) thỏa yêu cầu của đề bài.
Câu 229: Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức \({L_M} = \log \frac{k}{{{R^2}}}\)(Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B là Ben và LB =5 Ben. Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,59 Ben B. 3,06 Ben C. 3,69 Ben D. 4 Ben Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_A} = \log \frac{k}{{O{A^2}}} = 3}\\ {{L_B} = \log \frac{k}{{O{B^2}}} = 5} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {OA = \frac{{\sqrt {10k} }}{{100}}}\\ {OB = \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}}} \end{array}} \right. \Rightarrow AB = \frac{{\sqrt {10k} }}{{100}} + \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}} = \frac{{11\sqrt {10k} }}{{1000}}} \right.\) Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow ON = \frac{{AB}}{2} - OB = \frac{{11\sqrt {10k} }}{{2000}} - \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}} = \frac{{9\sqrt {10k} }}{{2000}}\) Suy ra mức cường độ âm tại N bằng \({L_N} = \log \frac{k}{{O{N^2}}} = \log \frac{{{{2000}^2}k}}{{81.10k}} \approx 3,69\) Ben.
Câu 230: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hàm số \(y = {2^{3 - x}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) B. Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) C. Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4. Spoiler: Xem đáp án + \(\left( {{2^{3 - x}}} \right)' = - {2^{3 - x}}.\ln 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) hàm số \(y=2^{3-x}\) nghịch biến trên + \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow\) hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\) + \(\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = - \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\) nên y’ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x=0 nên hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0. + \(y = {2^x} + {3^{2 - x}} = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \ge 2\sqrt {{2^x}.\frac{4}{{{2^x}}}} = 4 \Rightarrow \min y = 4 \Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4.
