Câu 231: Tìm tập xác định D cuả hàm số \(y = \sqrt {3 - {2^{x + 1}} - {4^x}} .\) A. \(D=\mathbb{R}\) B. \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\) C. \(D = \left( { - \infty ;0} \right].\) D. \(D = \left[ { - 3;1} \right].\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho xác định khi \(3 - {2.2^x} - {4^x} > 0.\) Đặt \(t = {2^x}\left( {t > 0} \right).\) Khi đó: \(- {t^2} - 2t + 3 > 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < 1 \Leftrightarrow {2^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0.\)
Câu 232: Cho các số thực a, b, c thỏa \(0 < a \ne 1\) và b>0, c>0. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\) B. \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\) C. \({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c\) D. \({\log _a}f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < {a^{g\left( x \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy A và B đúng. C đúng vì: \(\begin{array}{l} {a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}) + {\log _a}({b^{g(x)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c \end{array}\) \(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chỉ đúng khi cơ số a>1. Vậy với \(0<a\neq 1\) thì đẳng thức \(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chưa chắc đúng.
Câu 233: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x \ge 2.\) A. \(S = \left( {3;4} \right].\) B. \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\) C. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\) D. \(S = \left( {3; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: x>3. Khi đó bất phương trình trở thành \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 3} \right)} \right] \ge 2.\) \(\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le - 1 \end{array} \right.\) Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
Câu 234: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right).\) A. \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\) B. \(S = \left( {\frac{2}{3};1} \right)\) C. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {\frac{2}{3};\frac{6}{5}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8x > 8}\\ {6 > 5x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1}\\ {x < \frac{6}{5}} \end{array}} \right. \end{array}\) Vậy tập nghiệm của BPT là: \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\)
Câu 235: Với các số thực dương a, b bất kì. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(\log \left( {ab} \right) = \log \left( {a + b} \right)\) B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\) C. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = \log \left( {a - b} \right)\) D. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = {\log _b}a\) Spoiler: Xem đáp án Với các số thực dương a, b bất kì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b}\\ {\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = \log a - \log b} \end{array}} \right.\)
Câu 236: Cho \({\log _2}3 = a,{\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _6}45\) theo a, b. A. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2b}}{{2\left( {1 + a} \right)}}\) B. \({\log _6}45 = 2a + b\) C. \({\log _6}45 = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\) D. \({\log _6}45 = a + b - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _6}45 = {\log _6}9 + {\log _6}5 = \frac{2}{{{{\log }_3}6}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}6}}\) \(= \frac{2}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{b}{{1 + a}} = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\)
Câu 237: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3.\) A. \(x=7\) B. \(x=10\) C. \(x=8\) D. \(x=9\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 > 0}\\ {x - 1 = {2^3}} \end{array} \Leftrightarrow x = {2^3} + 1 = 9} \right..\)
Câu 238: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\log _2^2x + m{\log _2}x - m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \in \left( {0; + \infty } \right)?\) A. Có 6 giá trị nguyên B. Có 7 giá trị nguyên C. Có 5 giá trị nguyên D. Có 4 giá trị nguyên Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _2}x\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(t\in \mathbb{R}\) khi đó bất phương trình trở thành \({t^2} + m.t - m \ge 0\left( * \right)\) (*) nghiệm đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\) khi \({\Delta _{\left( * \right)}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right]\) Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
Câu 239: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{{m\log _3^2x - 4{{\log }_3}x + m + 3}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) A. \(m \in \left( { - 4;1} \right)\) B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) khi: \(g\left( x \right) = m\log _3^2x - 4{\log _3}x + m + 3 \ne 0\left( {\forall x > 0} \right)\) Đặt \(t = {\log _3}x\left( {t \in } \right)\) khi đó: \(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R} } \right)\) Với \(m = 0 \Rightarrow g\left( t \right) = - 4x + 3\) (không thỏa mãn) Với \(m\neq 0\) suy ra \(g\left( t \right) = m{t^2} - 4t + m + 3 \ne 0\left( {\forall t \in \mathbb{R}} \right)\) \(\Leftrightarrow \Delta ' = 4 - m\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {m < - 4} \end{array}} \right.\)
Câu 240: Cho hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x=7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại H, M và N. Biết rằng HM=HN. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(a=7b\) B. \(a=b^2\) C. \(a=b^7\) D. \(a=2b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(HM = MN \Rightarrow NH = 2MH \Rightarrow {\log _b}7 = 2{\log _a}7\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_7}b}} = \frac{2}{{{{\log }_7}a}} \Rightarrow a = {b^2}.\)
