Câu 241: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x - \frac{1}{{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} = m\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(- 1 < m \ne 0\) B. \(m>-1\) C. Không tồn tại m D. \(- 1 < m < 0\) Spoiler: Xem đáp án ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - 1}\\ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0} \end{array}} \right.\) Khi đó ta có: \(y' = 1 - \frac{{2.\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right]'}}{{\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{2}{{\ln 3\left( {x + 1} \right)\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} > 0,\left( {\forall x > - 1} \right).\) Do đó hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \((0;+\infty )\). Dựa vào bảng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiệm khi m>-1.
Câu 242: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\) A. \(y' = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\) B. \(y' = \frac{1}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\) C. \(y' = \frac{{4\ln 3}}{{4x + 1}}\) D. \(y' = \frac{{\ln 3}}{{4x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x + 1} \right)'}}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}.\)
Câu 243: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\) B. \({\log _2}\sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\) C. \({\log _2}xy = {\log _2}x + {\log _2}y\) D. \({\log _2}\frac{x}{y} = {\log _2}x - {\log _2}y\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}x + {\log _2}y = {\log _2}\left( {xy} \right)\) nên A sai.
Câu 244: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{{x - 1}} > 2\). A. \(S = \left( {1;\;1 + \sqrt 2 } \right)\) B. \(S = \left( {1;\;9} \right)\) C. \(S = \left( {1 + \sqrt 2 ;\; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {9;\; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{{x - 1}} > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{x - 1}} > 0\\ \frac{2}{{x - 1}} < \frac{1}{4} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ 8 < x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 9.\)
Câu 245: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log {}_{\sqrt 3 }\left| {2x - 5} \right|.\) A. \(y' = \frac{4}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\) B. \(y' = \frac{4}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\) C. \(y' = \frac{1}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\) D. \(y' = \frac{2}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x - 5} \right).\ln \sqrt 3 }} = \frac{2}{{\frac{1}{2}.\left( {2x - 5} \right)\ln 3}} = \frac{4}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
Câu 246: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)} .\) A. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\) B. \(D = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\) C. \(D = \left[ {\frac{1}{2};1} \right].\) D. \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ 2x - 1 \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ x \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le 1.\)
Câu 247: Cho các số thực dương a, b, c với \(c\neq 1\). Mệnh đề nào sau đây sai? A. \({\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b.\) B. \({\log _c}\frac{a}{b} = \frac{{\ln a - \ln b}}{{\ln c}}.\) C. \(\log _c^2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = 4\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right).\) D. \({\log _{{c^2}}}\frac{a}{{{b^2}}} = \frac{1}{2}{\log _c}a - {\log _c}b.\) Spoiler: Xem đáp án \(\log _c^2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left[ {2\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right)} \right]^2} = 4{\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right)^2}.\)
Câu 248: Cho \(a = {\log _2}3;\;\,\,b = {\log _3}5;\;\,\,c = {\log _7}2.\) Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c. A. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}.\) B. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c -1}}.\) C. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc - 2c + 1}}.\) D. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac - 1}}{{abc + 2c + 1}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{140}}63 = {\log _{140}}9 + {\log _{140}}7 = 2{\log _{140}}9 + {\log _{140}}7\) \(2{\log _{140}}3 = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}7 + 2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}\) \(= \frac{2}{{{{\log }_3}2.{{\log }_2}7 + \frac{2}{a} + b}} = \frac{2}{{\frac{1}{{ca}} + \frac{2}{a} + b}} = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}}\) \({\log _{140}}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{1}{{{{\log }_7}7 + 2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5}}\) \(= \frac{1}{{1 + 2c + {{\log }_7}2.{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} = \frac{1}{{1 + 2c + abc}}\) Vậy: \({\log _{140}}63 = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}} + \frac{1}{{1 + 2c + abc}} = \frac{{2ac + 1}}{{1 + 2c + abc}}.\)
Câu 249: Cho hai số dương a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Chọn đẳng thức đúng? A. \(\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\) B. \(\log a + \log b = \frac{1}{2}\log \left( {7ab} \right).\) C. \(\log {a^2} + \log {b^2} = \log \left( {7ab} \right).\) D. \(\log a + \log b = \frac{1}{7}\log \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Leftrightarrow a + b = 3\sqrt {ab} .\) Khi đó: \(\log \frac{{a + b}}{3} = \log \sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\) \(\log a + \log b = \log \left( {ab} \right)\) \(\log {a^2} + \log {b^2} = \log {\left( {ab} \right)^2}\) \(\log a + \log b = \log ab = \log \frac{{{a^2} + {b^2}}}{7} = \log \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \log 7.\)
Câu 250: Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)\). Tìm tập nghiệm của bất phương trình y'>0. A. \(\left( { - \infty ;1} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;0} \right).\) C. \(\left( {1; + \infty } \right).\) D. \(\left( {2; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < 0} \end{array} \Rightarrow D = \left( { - \infty ;0} \right)} \right. \cup \left( {2; + \infty } \right)\) (1) Khi đó \(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]' > 0\) \(\Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln \frac{1}{3}}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 0}\\ {1 < x < 2} \end{array}} \right.\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right).\)
