Câu 251: Bất phương trình \({\log _4}x - {\log _x}4 \le \frac{3}{2}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn [1;25]? A. 17. B. 15. C. 16. D. 14. Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\) Đặt \(t = {\log _4}x\), điều kiện với \(x \in \left[ {1;25} \right]\) nên t>0. Ta có phương trình: \(t - \frac{1}{t} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 2 \le 0\) \(\Leftrightarrow 0 < t \le 2\) (vì t>0). Do đó ta có: \(0 < {\log _4}x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 16.\) Vì x nguyên nên có 15 giá trị.
Câu 252: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x\) có nghiệm duy nhất. A. \(m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}.\) B. \(m =1\). C. \(\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}} \end{array} \right..\) D. \(m \ge 1.\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x \Leftrightarrow {25^x} - {\log _5}m = {5^x}\) Đặt \(t = {5^x},\) bất phương trình trở thành: \({t^2} - t = {\log _5}m\) Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên: PT đã cho có nghiệm duy nhất khi: \(\left[ \begin{array}{l} {\log _5}m = - \frac{1}{4}\\ {\log _5}m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)
Câu 253: Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0\). Giá trị của biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2\) bằng bao nhiêu? A. P=20. B. P=5. C. P=36. D. P=25. Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: x>0. Đặt \(t = {\log _2}x,\) phương trình trở thành: \({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\) Khi đó, \(P = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {2^2} + {4^2} = 20.\)
Câu 254: Phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1\) có tập nghiệm là tập nào sau đây? A. \(\left\{ {1;2} \right\}\). B. \(\left\{ {3;\frac{1}{9}} \right\}\). C. \(\left\{ {\frac{1}{3};9} \right\}\). D. \(\left\{ {0;1} \right\}\). Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{2^x} + 1} \right)\) \(\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}\left[ {3\left( {{2^x} + 1} \right)} \right]\)\(\Leftrightarrow {4^x} + 5 = 3\left( {{2^x} + 1} \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2^x} + 2 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Câu 255: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right) - 2\ln \left( {x - 1} \right) + 2x\) tại điểm x=2. A. \(y'(2) = \frac{1}{3}\). B. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} + 2\). C. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} - 1\). D. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 3}} - 2.\frac{1}{{x - 1}} + 2 \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{3\ln 3}} - 2 + 2 = \frac{1}{{3\ln 3}}.\)
Câu 256: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\) (với \(0 < a \ne 1;\,0 < b \ne 1\)). A. P=2. B. P=1. C. \(P=\sqrt 3\). D. \(P=\sqrt 2\). Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\\ \,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3.\left( { - 2} \right){\log _b}b\\ \,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1. \end{array}\)
Câu 257: Cho bất phương trình: \({\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0.\) Nếu đặt \(t = {\log _2}x,\) ta được bất phương trình nào sau đây? A. \({t^2} + 14t - 4 < 0\) B. \({t^2} + 11t - 3 < 0\) C. \({t^2} + 14t - 2 < 0\) D. \({t^2} + 11t - 2 < 0\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: x>0. Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}x.\left( {2 + {{\log }_2}x} \right) + 2.\left( {3{{\log }_2}x - 1} \right) < 0 \end{array}\) Đặt \(t = {\log _2}x,\) bất phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} \frac{1}{2}t\left( {2 + t} \right) + 2.(3t - 1) < 0\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{2}{t^2} + 6t - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 7t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} + 14t - 4 < 0. \end{array}\)
Câu 258: Cho \(a = {\log _{27}}5;b = {\log _8}7;c = {\log _2}3.\) Biểu diễn \({\log _6}35\) theo a,b,c. A. \({\log _6}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{a + c}}\) B. \({\log _6}35 = \frac{{2\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}\) C. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{1 + c}}\) D. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{2\left( {1 + c} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 3a = {\log _3}5\\ 3b = {\log _2}7\\ c = {\log _2}3 \end{array} \right.\) Suy ra: \({\log _2}3.{\log _3}5 = {\log _2}5 = 3ac\) Khi đó: \({\log _6}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}.\)
Câu 259: Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b\) B. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}{\log _a}b\) C. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{3}{2}{\log _a}b\) D. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{1}{6}{\log _a}b\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}\left( {{a^2}{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = 3{\log _a}\left( {{a^2}{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = 3\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\) \(= 3\left( {2 + \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b.\)
Câu 260: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( {\ln \left( {5 - {x^2}} \right)} \right).\) A. \(D = \left( {5; + \infty } \right)\) B. \(D = \left( { - \infty ;5} \right)\) C. \(D = \left[ { - 2;2} \right]\) D. \(D = \left( { - 2;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} \ln \left( {5 - {x^2}} \right) > 0\\ 5 - {x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 5 - {x^2} > 1 \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow \left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\) Vậy hàm số đã cho có tập xác định là \(D = \left( { - 2;2} \right).\)
