Câu 261: Cho \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(a > 1;\,\,\,b > 1\) B. \(a > 1;\,\,\,0 < b < 1\) C. \(0 < a < 1;\,\,b > 1\) D. \(0 < a < 1;\,\,0 < b < 1\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5},\,\,{a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}} \Rightarrow 0 < a < 1.\) Và \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3};\,{\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1.\)
Câu 262: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log ({x^2} - x).\) A. \(y' = \frac{1}{{({x^2} - x)\ln 10}}.\) B. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.\) C. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{({x^2} - x)\log e}}.\) D. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.loge.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left[ {\log ({x^2} - x)} \right]' = \frac{{({x^2} - x)'}}{{({x^2} - x)\ln 10}} = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}\log e.\)
Câu 263: Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x.\) A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0,x > 3\\ {\log _2}(x + 3) - {\log _2}{x^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}\frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{2} \end{array}\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 264: Năm 1992, người ta đã biết số \(p = {2^{756839}} - 1\) là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của khi viết trong hệ thập phân. A. 227830 chữ số B. 227834 chữ số. C. 227832 chữ số. D. 227831 chữ số. Spoiler: Xem đáp án Khi viết trong hệ thập phân, số các chữ số của \(p = {2^{756839}} - 1\) bằng các chữ số của \({2^{756839}}\) Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân là: \(\left[ {\log \left( {{2^{756839}}} \right)} \right] + 1 = 227831 + 1 = 227832.\) Kí hiệu: [X]: phần nguyên của X.
Câu 265: Xét a và b là hai số thực dương tùy ý. Đặt \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}},{\rm{ }}y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}}.\) Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. x<y. B. x>y. C. \(x\leq y\) D. \(x\geq y\) Spoiler: Xem đáp án Với a, b>0 ta có \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}} = 1000\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\) \(y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}} = 1000\ln a + 1000\ln b = 1000\ln \left( {ab} \right).\) Xét hiệu: \(x - y = 1000\left[ {\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - \ln \left( {ab} \right)} \right]\) (1) Mặt khác: \(\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab = {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge ab > 0\) Khi đó từ (1) \(\Rightarrow x - y \ge 0 \Rightarrow x \ge y,\) dấu "=" xảy ra khi a=b>0
Câu 266: Đặt \(a = {\log _3}4,{\rm{ }}b = {\log _5}4\) Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo a và b. A. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\) B. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\) C. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\) D. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _{12}}80 = {\log _{12}}\left( {{4^2}.5} \right) = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + \frac{1}{{{{\log }_5}12}}\) \(= \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}4 + {{\log }_5}3}} = \frac{2}{{{{\log }_4}4 + {{\log }_4}3}} + \frac{1}{{b + {{\log }_5}3}}\) Từ \(a = {\log _3}4 \Rightarrow {\log _4}3 = \frac{1}{a} \Rightarrow {\log _5}3 = {\log _5}4.{\log _4}3 = b.\frac{1}{a} = \frac{b}{a}\) \(\Rightarrow {\log _{12}}80 = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{1}{{b + \frac{b}{a}}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.\)
Câu 267: Cho hai số thực dương a và b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\) B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\) C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2{\log _a}b.\) D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\) Spoiler: Xem đáp án Với a,b > 0 và \(a\neq 1\) ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b.\)
Câu 268: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}}\) A. \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\) B. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right)\) D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}}\) xác định khi \({\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} - 8 \ne 0 \Leftrightarrow {x^3} \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 2.\)
Câu 269: Giải phương trình \({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3.\) A. \(x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\) B. \(x = 1 + 2\sqrt {17} .\) C. \(x = 33\) D. \(x = 5\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x - 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3\) (*) Khi đó: \({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\) \(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3} = 64 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\) Kết hợp với (*) ta được \(x = 1 + 2\sqrt {17}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Câu 270: Cho \(a,b>0\) và \(a,b\neq 1\). Đặt \({\log _a}b=\alpha\) = a , tính theo a giá trị biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}.\) A. \(P = \frac{{2 - 5{\alpha ^2}}}{\alpha }\) B. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 12}}{{2\alpha }}\) C. \(P = \frac{{4{\alpha ^2} - 3}}{{2\alpha }}\) D. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 3}}{\alpha }\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3} = \frac{1}{2}.{\log _a}b - 2{\log _b}{a^3} = \frac{1}{2}.{\log _a}b - 6.{\log _b}a\\ = \frac{1}{2}.{\log _a}b - \frac{6}{{{{\log }_a}b}} = \frac{{{\alpha ^2} - 12}}{{2\alpha }}. \end{array}\)
