Câu 271: Cho x>0 thỏa mãn \({\log _2}({\log _8}x) = {\log _8}({\log _2}x).\) Tính \({({\log _2}x)^2}.\) A. \({({\log _2}x)^2} = 3\) B. \({({\log _2}x)^2} = 3\sqrt 3\) C. \({({\log _2}x)^2} = 27\) D. \({({\log _2}x)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _2}x,\) ta có \({\log _8}x = {\log _{{2^3}}}x = \frac{1}{3}.{\log _2}x = \frac{t}{3}\) suy ra \({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _8}t \Leftrightarrow {\log _2}\frac{t}{3} = \frac{1}{3}{\log _2}t\) \({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _2}\sqrt[3]{t} \Leftrightarrow \frac{t}{3} = \sqrt[3]{t} \Leftrightarrow t = 3\sqrt 3 \Rightarrow {({\log _2}x)^2} = {t^2} = 27.\)
Câu 272: Cho \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2}\) và x y, là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2} = - 4.\log _a^2x\) B. \(\log _a(xy) = \log _a^{}x + {\log _a}y\) C. \({\log _a}{x^{2016}} = 2016.{\log _a}x\) D. \({\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2} = \log _{{a^{ - 1}}}^2{x^2} = 4.{({\log _a}x)^2} \Rightarrow\)A là khẳng định sai.
Câu 273: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) + 1.\) A. S=[3;5] B. S=(1;5) C. S=(1;3] D. S=[-3;3] Spoiler: Xem đáp án \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {\log _2}{(x - 1)^2} \le {\log _2}2(5 - x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {(x - 1)^2} \le 2(5 - x) \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} - 2x + 1 \le 10 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} \le 9 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ 3 \ge x \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \ge x > 1 \Rightarrow S = (1;3].\)
Câu 274: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} ).\) A. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\) B. \(y' = \frac{2}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\) C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) D. \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right) \Rightarrow y' = \frac{{\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) \(= \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Câu 275: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{{{(x - 1)}^{\sqrt 3 }}}}{{\log (9 - x)}}.\) A. D=(1;9) B. \(D = (1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}\) C. \(D = \left[ {1;9} \right]\backslash \left\{ 8 \right\}\) D. \(D = \left[ {1;9} \right)\backslash \left\{ 8 \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0;9 - x > 0\\ \log (9 - x) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ 9 - x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ x \ne 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in [1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}.\)
Câu 276: Để đảm bảo điều kiện sinh sống của người dân tại thành phố X, một nhóm các nhà khoa học cho biết với các điều kiện y tế, giáo dục, cơ sở hạ tầng,…của thành phố thì chỉ nên có tối đa 60.000 người dân sinh sống. Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{ni}},\) trong đó A là dân số của năm được lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm và i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Giả sử vào thời điểm hiện tại thành phố X có 50.000 người dân và tỉ lệ tăng dân số là 1,3%/năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì dân số thành phố bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, biết rằng số liệu chỉ được lấy vào đầu mỗi năm và giả thiết tỉ lệ tăng dân số không thay đổi? A. 13 năm B. 14 năm C. 15 năm D. 16 năm Spoiler: Xem đáp án Theo công thức, ta thấy số dân qua mỗi năm tăng. Gọi n1 là năm dân số bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, n0 là số năm ở thời điểm hiện tại, khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {50000 = A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}\\ {60000 = A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}} \end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{60000}}{{50000}}\) \(= \frac{{A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}}}{{A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}} \Leftrightarrow \frac{6}{5} = {e^{\left( {{n_1} - {n_0}} \right) \times 1,3\% }} \Rightarrow {n_1} - {n_0} = \frac{{\ln \frac{6}{5}}}{{1,3\% }} \approx 14,02\) Vậy phải ít nhất 15 năm thì số dân mới vượt ngưỡng cho phép.
Câu 277: Cho hàm số \(f\left( x \right) = x.{\log _x}2\) với \(x > 0;x \ne 1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thỏa mãn bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\). A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = x.{\log _x}2 = x.\frac{{\ln 2}}{{\ln x}} = \ln 2.\frac{x}{{\ln x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \ln 2\left( {\frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}} \right)\) Với điều kiện \(x > 0;x \ne 1\) ta có: Bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \ln 2.\left( {\frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}} \right) \le 0 \Leftrightarrow \ln x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le e\) Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \left( {0;e} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\) Do đó bất phương trình có duy nhất một nghiệm nguyên là x=2.
Câu 278: Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b. A. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{b}\) B. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{b}\) C. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{a}\) D. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{a}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _3}135 = {\log _3}27 + {\log _3}5 = 3 + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 3 + \frac{a}{b}.\)
Câu 279: Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {\sqrt {x - 2} + 4} \right) \ge {\log _3}\left( {\frac{1}{{\sqrt {2 - x} + 8}}} \right).\) A. \(x=2\) B. \(x\geq 2\) C. \(x\leq 2\) D. \(1\leq x\leq 2\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le 2 \end{array} \right. \Rightarrow x = 2.\) Ta thấy x=2 thỏa mãn bất phương trình. Vậy BPT có nghiệm duy nhất x=2.
Câu 280: Cho các phát biểu sau: (1). Hàm số \( y= \ln x\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) (2). Trên khoảng (1;3) hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) nghịch biến. (3). Nếu \(0 < a < 1\) thì \(y = {\log _a}x\) nghịch biến. Đâu là những phát biểu đúng? A. (1) B. (2) (3) C. (1) (3) D. (2) Spoiler: Xem đáp án (1). Vì cơ số e>1 nên hàm số y=lnx là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên (1) sai. (2). Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) có cơ số \(a = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3) nên (2) đúng. (3) Ta có \({\log _a}3 < 0 \Leftrightarrow {\log _a}3 < {\log _a}1\), mà 3>1. Từ đó suy ra hàm đặc trưng \(y = {\log _a}x\) nghịch biến nên \(0 < a < 1\) nên (3) đúng.
