Câu 281: Cho các số thực dương a,b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\) B. \({\log _{{a^4}}}(ab) = 4 + 4{\log _a}b\) C. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\) D. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}({\log _a}a + {\log _a}b) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b\)
Câu 282: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\) A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\) B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\) D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\) Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\) Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 283: Cho \(0 < a < b < 1,\) mệnh đề nào sau đây đúng? A. \({\log _b}a > {\log _a}b\) B. \({\log _b}a < 0\) C. \({\log _b}a < {\log _a}b\) D. \({\log _a}b > 1\) Spoiler: Xem đáp án Với \(0 < a < b < 1\) thì \({\log _b}a > 1,{\log _a}b < 1\) nên: \({\log _b}a > {\log _a}b.\) Vậy A đúng.
Câu 284: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{10}}{3}\) B. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{14}}{3}\) C. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{15}}{3}\) D. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = 4\) Spoiler: Xem đáp án \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = 2 + \ln {e^{\frac{7}{3}}} = 2 + \frac{7}{3} = \frac{{13}}{3}.\)
Câu 285: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\) A. \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) B. \(y' = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) C. \(y' = \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) D. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Câu 286: Cho \({\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ b < 1 \end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ b > 1 \end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\sqrt 3 > \sqrt 2\) nên ta có \({\left( {0,1.a} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {0,1.a} \right)^{\sqrt 2 }} \Rightarrow 0,1.a < 1 \Rightarrow 0 < a < 10.\) Do \(\frac{2}{3} < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên ta có \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b > 1.\)
Câu 287: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne0\) và \({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{\left| x \right|}}.\) B. \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow x - 1 < x.\) C. Đồ thị của hàm số \(y =\log_2x\) nằm phía bên trái trục tung. D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\) Spoiler: Xem đáp án A sai, đúng là Hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne 0\) và \({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}.\) B sai, đúng là: \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 < x\\ x - 1 > 0 \end{array} \right..\) C sai, đúng là đồ thị hàm số \(y=\log_2x\) nằm phía bên phải trục tung vì TXĐ của hàm số là \((0; + \infty ).\) D đúng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\)
Câu 288: Biết \({\log _{27}}5 = a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b,{\rm{ }}{\log _2}3 = c.\) Biểu diễn \({\log _{12}}35\) theo a,b,c. A. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}.\) B. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 1}}.\) C. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}.\) D. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 1}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5 = a \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a\), \({\log _8}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 = b \Leftrightarrow {\log _2}7 = 3b.\) Mà: \(\begin{array}{l} {\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}\\ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}. \end{array}\)
Câu 289: Với các số thực dương x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _2}\left( {\frac{x}{y}} \right) = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}.\) B. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y.\) C. \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2}}}{y}} \right) = 2{\log _2}x - {\log _2}y.\) D. \({\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x.{\log _2}y.\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2}}}{y}} \right) = {\log _2}{x^2} - {\log _2}y = 2{\log _2}x - {\log _2}y.\)
Câu 290: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right).\) A. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\) B. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\) C. \(y' = \left( {2x + 1} \right)\ln 5.\) D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 5}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 5}}.\)
