Câu 21: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \({b^2} = 3ab + 4{a^2}\) và \(a \in \left[ {4;{2^{32}}} \right]\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\frac{b}{8}}}4a + \frac{3}{4}{\log _2}\frac{b}{4}\). Tính tổng \(T = M + m\). A. \(T = \frac{{3701}}{{124}}\) B. \(T = \frac{7}{2}\) C. \(T = \frac{{2957}}{{124}}\) D. \(T = \frac{{1897}}{{62}}\) Spoiler: Xem đáp án Từ giả thiết, ta có \({b^2} = 3ab + 4{a^2} \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 3\frac{a}{b} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = 4a\) Khi đó: \(P = {\log _{\frac{b}{8}}}4a + \frac{3}{4}{\log _2}\frac{b}{4} = {\log _{\frac{b}{8}}}b + \frac{3}{4}\left( {{{\log }_2}b - {{\log }_2}4} \right) = \frac{1}{{{{\log }_b}\frac{b}{8}}} + \frac{3}{4}{\log _2}b - \frac{3}{2}\) \( = \frac{1}{{1 - {{\log }_b}8}} + \frac{3}{4}{\log _2}b - \frac{3}{2} = \frac{1}{{1 - \frac{3}{{{{\log }_2}b}}}} + \frac{3}{4}{\log _2}b - \frac{3}{2} = \frac{{{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}b - 3}} + \frac{3}{4}{\log _2}b - \frac{3}{2}\) Đặt \(t = {\log _2}b\) với \(a \in \left[ {4;{2^{32}}} \right] \Rightarrow 16 \le b \le {2^{34}} \Rightarrow 4 \le {\log _2}b \le 34 \Rightarrow t \in \left[ {4;34} \right]\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{t}{{t - 3}} + \frac{3}{4}t\) với \(t \in \left[ {4;34} \right]\), ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{3\left( {{t^2} - 6t + 5} \right)}}{{4{{\left( {t - 3} \right)}^2}}};\forall t \in \left[ {4;34} \right]\) Phương trình \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \le t \le 34\\{t^2} - 6t + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 5\). Tính giá trị \(f\left( 4 \right) = 7;f\left( 5 \right) = \frac{{25}}{4};f\left( {34} \right) = \frac{{1649}}{{62}}\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {4;34} \right]} f\left( t \right) = f\left( {34} \right) = \frac{{1649}}{{62}}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {4;34} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = \frac{{25}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = {P_{\max }} = \frac{{778}}{{31}}\\m = {P_{\min }} = \frac{{19}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow T = M + m = \frac{{3701}}{{124}}.\)
Câu 22: Cho a, b là các số dương và \({\log _7}x = 8{\log _7}a{b^2} - 2{\log _7}{a^3}b\). Giá trị của x được viết dưới dạng \(z = {a^\alpha }{b^\beta }\). Khi đó \(\alpha + \beta \) bằng bao nhiêu? A. 22 B. 10 C. 16 D. 18 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _7}x = 8{\log _7}a{b^2} - 2{\log _7}{a^3}b = {\log _7}\frac{{{{\left( {a{b^2}} \right)}^8}}}{{{{\left( {{a^3}b} \right)}^2}}} = {\log _7}\left( {{a^2}{b^{14}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = 2\\\beta = 14\end{array} \right. \Rightarrow \alpha + \beta = 16.\)
Câu 23: Gọi n là số nghiệm phân biệt của phương trình \(\frac{4}{x} + \ln x = 4\). Tìm n. A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\frac{4}{x} + \ln x = 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{4}{x} + \ln x - 4 = 0\left( * \right)\) Hàm số f(x) có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 4\) Ta có bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) với \(x > 0\) như sau: Vì \(4 - 3 < 0 \Rightarrow PT\,\,f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra \(n = 2\).
Câu 24: Nếu \(\log 2 = a\) và \({\log _2}7 = b\) thì \(\log 56\) bằng bao nhiêu? A. \(a + b\) B. \(a\left( {b + 3} \right)\) C. \(ab\) D. \(b\left( {a + 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\log 56 = \log 7 + \log 8 = \log 2.{\log _2}7 + 3\log 2 = ab + 3a = a\left( {b + 3} \right).\)
Câu 25: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - 1;6} \right)\) C. \(\left( {2;3} \right)\) D. \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi \( - {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow D = \left( {2;3} \right).\)
Câu 26: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\mathop{\rm lnx}\nolimits} = 2e.\) A. \(S = \left\{ {2{e^e}} \right\}\) B. \(S = \left\{ {{2^e}} \right\}\) C. \(S = \left\{ {{e^{2e}}} \right\}\) D. \(S = \left\{ {2{e^2}} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án \({\mathop{\rm lnx}\nolimits} = 2e \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {e^{2e}}\end{array} \right. \Rightarrow x = {e^{2e}} \Leftrightarrow S = \left\{ {{e^{2e}}} \right\}.\)
Câu 27: Đặt \(a = \ln 2,\,\,b = \ln 5\), hãy biểu diễn \(I = \ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}\) theo a và b. A. \( - 2\left( {a - b} \right)\) B. \( - 2\left( {a + b} \right)\) C. \(2\left( {a - b} \right)\) D. \(2\left( {a + b} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}I = \ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}\\ = \ln 1 - \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 + ... + \ln 99 + \ln 100\\ = - \ln 100 = - 2\ln 10 = - 2\left( {\ln 2 + \ln 5} \right) = - 2\left( {a + b} \right).\end{array}\)
Câu 28: Tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\) A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\) B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\) C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\) D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\) Đặt \(t = {\log _2}x,\) ta có: \(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} - 5t - 6 = (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\\ \Leftrightarrow - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\end{array}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)
Câu 29: Cho a, b, c dương và khác 1 thỏa mãn: \({\log _b}\sqrt c = {x^2} + 1;\,\,{\log _{{a^2}}}\sqrt {{b^3}} = {\log _{\sqrt[3]{c}}}a = x\). Cho biểu thức \(Q = 24{x^2} - 2x - 1997\). Khẳng định nào sau đây đúng: A. \(Q \approx - 1999\) hoặc \(Q \approx - 1985\) B. \(Q \approx - 1999\) hoặc \(Q \approx - 2012\) C. \(Q \approx - 1979\) hoặc \(Q \approx - 1982\) D. \(Q \approx - 1985\) hoặc \(Q \approx - 1971\) Spoiler: Xem đáp án Ta sử dụng các biến đổi sau: \({\log _b}\sqrt c = {x^2} + 1 \Rightarrow {b^{{x^2}}}.b = \sqrt c \Rightarrow {b^{2{x^2} + 2}} = c \left( 1 \right)\) \({\log _{{a^2}}}\sqrt {{b^3}} = x \Rightarrow {a^{2x}} = \sqrt {{b^3}} \Rightarrow {a^{4x}} = {b^3}\) \({\log _{\sqrt[3]{c}}}a = x \Rightarrow \sqrt[3]{{{c^x}}} = a \Rightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{c^x}}}} \right)^{4x}} = {b^3} = {c^{\frac{{4{x^2}}}{3}}} \Rightarrow c = {b^{\frac{9}{{4{x^2}}}}} \left( 2 \right)\) \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow {b^{2{x^2} + 2}} = {b^{\frac{9}{{4{x^2}}}}} \Rightarrow 8{x^4} + 8{x^2} - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{ - 8 + 4\sqrt {22} }}{{16}}} \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow Q = 24{x^2} - 2x - 1997\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} Q \approx - 1982,499754...\\ Q \approx - 1979,217257... \end{array} \right. \end{array}.\)
Câu 30: Cho a > 0, b > 0 và a khác 1 thỏa mãn: \({\log _a}b = \frac{b}{4};\,\,{\log _2}a = \frac{{16}}{b}\). Tính tổng a + b. A. 16 B. 12 C. 10 D. 18 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _2}a.{\log _a}b = {\log _2}b = \frac{b}{4}.\frac{{16}}{b} = 4 \Rightarrow b = 16;\,a = 2 \Rightarrow a + b = 18.\)
