Câu 301: Tính giá trị của biểu thức: \(P = \ln \left( {\tan {1^0}} \right) + \ln \left( {\tan {2^0}} \right) + \ln \left( {\tan {3^0}} \right) + ... + \ln \left( {\tan {{89}^0}} \right).\) A. P=1 B. \(P = \frac{1}{2}\) C. P=0 D. P=2 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(P = \ln \left( {\tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}...\tan {{89}^0}} \right).\) Mặt khác \(\tan x = \cot \left( {{{90}^0} - x} \right) \Rightarrow \tan x.\tan \left( {{{90}^0} - x} \right) = 1\) \(\Rightarrow P = \ln \left( {\left( {\tan {1^0}.\tan {{89}^0}} \right) \left( {\tan {2^0}.\tan {{88}^0}} \right)...\tan {{45}^0}} \right) \Rightarrow P = \ln 1 = 0.\)
Câu 302: Cho hàm số \(f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right).\) Tính đạo hàm f'(1). A. \(f'(1) = \frac{{\ln 2}}{2}\) B. \(f'(1) = 1\) C. \(f'(1) = \frac{1}{2}\) D. \(f'(1) = 2\) Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(1) = 2.\)
Câu 303: Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đâysai? A. \(\ln {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \ln \left( {{a^2}} \right) - \ln \left( {{b^2}} \right)\) B. \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\) C. \(\ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \ln \left| a \right| - \ln \left| b \right|\) D. \(\ln {\left( {ab} \right)^2} = \ln ({a^2}) + \ln ({b^2})\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\) sai, sửa lại đúng là: \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| a \right| + \ln \left| b \right|} \right).\)
Câu 304: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: \({\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}\left( {p + q} \right).\) Tính giá trị của \(\frac{q}{p}\). A. \(\frac{q}{p}=\frac{4}{3}\) B. \(\frac{q}{p}=\frac{8}{5}\) C. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\) D. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}(p + q)\) thì ta có: \(p = {9^t};\,q = {12^t};{16^t} = p + q = {9^t} + {12^t}(1)\) Chia 2 vế của (1) cho ta được: \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\,(2)\) Đặt \(u = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{q}{p} > 0,\) phương trình (2) trở thành: \({u^2} - u - 1 = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2} \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) do u>0 Suy ra: \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)
Câu 305: Cho \({\log _3}15 = a\). Tính \(A = {\log _{25}}15\) theo a. A. \(A = \frac{a}{{2\left( {1 - a} \right)}}\) B. \(A = \frac{{2a}}{{a - 1}}\) C. \(A = \frac{a}{{2\left( {a - 1} \right)}}\) D. \(A = \frac{a}{{a - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(a = {\log _3}15 \Rightarrow {\log _3}5 + {\log _3}3 = a \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\) \({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_3}15}}{{{{\log }_3}25}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {3.5} \right)}}{{{{\log }_3}{5^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_3}5}}{{2.{{\log }_3}5}} = \frac{{1 + a - 1}}{{2.\left( {a - 1} \right)}} = \frac{a}{{2.\left( {a - 1} \right)}}.\)
Câu 306: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1\). A. \(x>\frac{1}{2}\) B. \(x<\frac{3}{4}\) C. \(0<x<\frac{3}{4}\) D. \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\) Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1 \Leftrightarrow 2x - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{3}{4}\) Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm: \(\frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}.\)
Câu 307: Tìm m để phương trình \({3^{{x^2} - 4}}{.5^{x + m}} = 3\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn phương trình \(\left| {{x_1} - x{ x_2}} \right| = {\log _3}5\) . A. \(m = 4{\log _5}3\) B. \(m = 5{\log _5}3\) C. \(m = 2\) D. \(m = -2\) Spoiler: Xem đáp án \({3^{{x^2} - 4}}{.5^{x + m}} = 3 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5}}{.5^{x + m}} = 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 5} \right)\ln 3 + \left( {x + m} \right)\ln 5 = 0\) \(\Leftrightarrow {x^2}.\ln 3 + x.\ln 5 - 5\ln 3 + m\ln 5 = 0\,(*)\) Giải sử (*) có nghiệm \(x_1, x_2\). Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}\\ {x_1}.{x_2} = - 5 + m\frac{{\ln 5}}{{\ln 3}} \end{array} \right.\) Khi đó: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {\log _3}5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = \frac{{{{\ln }^2}5}}{{{{\ln }^2}3}} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}} \right)^2} - 4\left( { - 5 + \frac{{m\ln 5}}{{\ln 3}}} \right)\)\(= \frac{{{{\ln }^2}5}}{{{{\ln }^2}3}}\) \(\Leftrightarrow \frac{{m\ln 5}}{{\ln 3}} = 5 \Leftrightarrow m = 5{\log _5}3\)
Câu 308: Phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0\) có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án ĐK: x > 0. Khi đó: \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow \log _3^2x - 4\left( {1 + {{\log }_3}x} \right) + 7 = 0\) Đặt: \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_3}x = 1}\\ {{{\log }_3}x = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 17} \end{array}} \right.\) Do đó PT đã cho có 2 nghiệm.
Câu 309: Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {2x + 1} - 6{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - 12{\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}.\) A. \(- \frac{1}{2} < x < 1\) B. \(x<3\) C. \(1<x<3\) D. \(x>1\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 > 0}\\ {3 - x > 0} \end{array}}\\ {x - 1 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - \frac{1}{2}}\\ {x < 3} \end{array}}\\ {x > 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\)
Câu 310: Phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left| {x + 3} \right| + {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {x + 4} \right) = 0\,\) và \(\left| {x + 3} \right| = x + 4\) là hai phương trình tương đương với điều kện nào sau đây? A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) B. \(x \in \left( { - 3 + \infty } \right)\) C. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\) D. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 3} \right| \ne 0\\ x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x > - 4 \end{array} \right..\)
