Câu 311: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2\) A. \(x > 4\) B. \(4 < x < \frac{{37}}{9}\) C. \(x > \frac{{37}}{9}\) D. \(4 < x < \frac{{14}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 4 > 0\\ x - 4 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 4\\ x < \frac{{37}}{9} \end{array} \right.\)
Câu 312: Cho các số thực dương \(1 > a > b > 0\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = - 3{\log _{{a^4}}}\frac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right)\) A. \({P_{\min }} = 3\) B. \({P_{\min }} = 4\) C. \({P_{\min }} = \frac{5}{2}\) D. \({P_{\min }} = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(P = - \frac{3}{4}{\log _a}\frac{a}{b} + {\left( {{{\log }_b}\left( {ab} \right)} \right)^2} = - \frac{3}{4}\left( {1 - {{\log }_a}b} \right) + {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2}\) Đặt \(t = {\log _b}a\left( {0 < t < 1} \right)\) ta có: \(P = \frac{{ - 3}}{4}\left( {1 - \frac{1}{t}} \right) + {\left( {t + 1} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{{4t}} + {t^2} + 2t = f\left( t \right)\) Khi đó \(f'\left( t \right) = - \frac{3}{{4{t^2}}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \frac{1}{2}\) Giá trị nhỏ nhất: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3\) Do đó \({P_{\min }} = 3\) khi \(t = \frac{1}{2}\)
Câu 313: Tìm m để phương trình \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m\) có nghiệm. A. \(m \le 5\) B. \(m \ge 4\) C. \(m \in \left[ {4;5} \right]\) D. \(m>0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{2 - {{\cos }^2}x}} = m\) Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow 2 \ge {2^{{{\cos }^2}x}} \ge 1\,\,(Do\,0 \le t \le 1)\) Khi đó bất phương trình trở thành: \(t + \frac{2}{t} = m\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in \left[ {2;1} \right]\) Ta có: \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 4}}{{{t^2}}} \le 0\left( {\forall t \in \left[ {2;1} \right]} \right)\) Do đó: \(f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 2 \right);f\left( 1 \right)} \right] = \left[ {4;5} \right]\) Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
Câu 314: Rút gọn biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}}\) với x là số thực dương khác 1. A. \(P = \frac{{11}}{6}.{\log _2}x\) B. \(P = 6.{\log _2}x\) C. \(P = 6{\log _x}2\) D. \(P = \frac{{11}}{6}{\log _x}2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}} = {\log _x}2 + {\log _x}4 + {\log _x}8 = {\log _x}64 = 6.{\log _x}2\)
Câu 315: Đặt \(a = {\log _2}3,b = lo{g_3}7\) . Hãy biểu diễn \({\log _6}21\) theo a và b. A. \({\log _6}21 = \frac{{a - ab}}{{1 + a}}\) B. \({\log _6}21 = \frac{{a + b}}{{1 + a}}\) C. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\) D. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 - a}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _6}21 = \frac{{{{\log }_2}21}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}7}}{{1 + a}} = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\)
Câu 316: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1\) B. \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3\) C. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right)\) D. \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Với a,b,c > 0 ta có: \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1 \Leftrightarrow {\log _a} - {\log _b} = b + c + 1 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) - \left( {c - 2} \right) = b + c + 1 \Rightarrow A\) sai \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3 \Leftrightarrow \log a + \log b = b + c - 3\) \(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = b + c - 3 \Rightarrow B\) đúng. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right) \Leftrightarrow \log a + \log b = bc - 2b - c + 2\) \(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = bc - 2b - c + 2 \Rightarrow C\) Sai \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \log a + \log b = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Rightarrow D\)sai.
Câu 317: Với các số thực dương a, b tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 3 + 2.{\log _3}a - 2.{\log _3}b\) B. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 - 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\) C. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.lo{g_3}a - 2.{\log _3}b\) D. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\) Spoiler: Xem đáp án Với a, b > 0 ta có: \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}{a^4} - {\log _3}{b^2} = 1 + 4{\log _3}a - 2{\log _3}b\)
Câu 318: Cho a là số thực dương nhỏ hơn 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\) B. \({\log _a}\sqrt 5 > {\log _a}2\) C. \({\log _a}2 > 0\) D. \({\log _2}a > 0\) Spoiler: Xem đáp án Do a < 1 nên hàm số \({\log _a}x\) nghịch biến. Do đó \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\)
Câu 319: Với các số thực dương a, b bất kỳ và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\log {a^b} = \frac{1}{b}\log a\) B. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\) C. \(\log a.\log b = \log \left( {ab} \right)\) D. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\) Spoiler: Xem đáp án Với \(a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1\), ta có: \(\log {a^b} = b\log a \Rightarrow\) A sai \(\log \frac{a}{b} = \log a - \log b \Rightarrow\) B sai \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b \Rightarrow\) C sai. \(\frac{{\ln b}}{{\ln a}} = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b \Rightarrow\) D đúng.
Câu 320: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2)$ có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\) A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {0; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\) C. \(m \in \left( {0;1} \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > {\log _2}2 + {\log _2}({x^2} + 2) ,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4 > {x^2} + 4,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - {m^2} - 2m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\,(*) \end{array}\)(*) xảy ra khi: \(\Delta ' = 2{m^2} + 2m < 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)
