Câu 341: Hàm số \(y = {\log _{0,5}}\left( { - {x^2} + 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left ( 0;1 \right )\) B. \(\left ( 1;2 \right )\) C. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) D. \(\left( {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \(- {x^2} + 2x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\) Xét hàm số \(y = {\log _{0,5}}\left( { - {x^2} + 2x} \right)\) có tập xác định D=(0;2) \(y' = \frac{{ - 2x + 2}}{{\left( { - {x^2} + 2x} \right).\ln 0,5}}\) Nhận thấy \(\left\{ \begin{array}{l} \ln 0,5 < 0\\ - {x^2} + 2x > 0 \end{array} \right.\) do đó \(y' > 0 \Leftrightarrow - 2x + 2 < 0 \Leftrightarrow x > 1.\) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;2} \right).\)
Câu 342: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên? A. \(y = {e^x}\) B. \(y = {e^{-x}}\) C. \(y = {\log _{\sqrt 7 }}x\) D. \(y = {\log _{0,5 }}x\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Do đó đây là đồ thị của hàm số logarit có cơ số a>1.
Câu 343: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right).\) A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\) B. \(S = \mathbb{R}\) C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(x>0\). Khi đó: \(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x\ne 5\end{array}\) Kết hợp điều kiện thì ta được \(x \in \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
Câu 344: Giải bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\) A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\) B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {3;9)\) D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ {x^2} - 5x + 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ (x - 2)(x - 3) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.\) Khi đó: \({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} > - {\log _3}\sqrt {x + 3}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\) \(\Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9} > 1 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10}\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)
Câu 345: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{{x^2} - 4}}\left( {x + 2} \right) \ge 0.\) A. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right)\) B. \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( { - 2;\sqrt 5 } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2(*)\\ x \ne \sqrt 5 \end{array} \right..\) Xét hai trường hợp: TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó: Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\) Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\) TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó: Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\) Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
Câu 346: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1.\) A. x>1 B. \(x\leq 5\) C. \(1<x<5\) D. \(2<x<5\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(1 < x < 5.\) \(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(5 - x)^2} - {\log _3}(x - 1) - {\log _3}(x + 1) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 1 \end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 3 \Leftrightarrow {(5 - x)^2} < 3({x^2} - 1)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < - 7} \end{array}} \right. \end{array}\) Kết hợp với điều kiện suy ra 2<x<5 là nghiệm bất phương trình.
Câu 347: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\) A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\) B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\) D. \(S = (2;3]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ x - 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\) (*). Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\) \(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\) Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.
Câu 348: Giải bất phương trình $x + {\log _3}(x + 1) > 3$ A. x>-1 B. x>-2 C. x>2 D. x>0 Spoiler: Xem đáp án ĐK: x>-1. Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) \(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) Mặt khác \(f(2) = 3\) Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Câu 349: Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\) A. 2<x<5 B. 1<x<2 C. 2<x<3 D. Đáp số khác Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(5 > x > 2.\) Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\) Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)
Câu 350: Giải bất phương trình\({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\) A. \(x < \frac{1}{9}\) B. \(x >3\) C. \(\frac{1}{9}<x<3\) D. \(\frac{1}{3}<x<3\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0.\) Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\). Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
