Câu 361: Phương trình \({2^x} = {\log _2}\left( {8 - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thực? A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(8 - x > 0 \Leftrightarrow x < 8\) \({\log _2}\left( {8 - x} \right) = {2^x} \Rightarrow 8 - x = {2^{{2^x}}}\) Nhận xét: Vế trái là hàm nghịch biến, Vế phải là hàm đồng biến nên nếu phương trình có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất.
Câu 362: Cho \(a,b > 0,a \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = \frac{b}{4}\) và \({\log _2}a = \frac{{16}}{b}.\) Tính tổng a+b. A. $a+b=12$ B. $a+b=10$ C. $a+b=16$ D. $a+b=18$ Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}a = \frac{{16}}{b} \Rightarrow a = {2^{\frac{{16}}{b}}} \Rightarrow {\log _a}b = \frac{b}{4}\) \(\Rightarrow {\log _{{2^{\frac{{16}}{b}}}}}b = \frac{b}{4} \Rightarrow \frac{b}{{16}}{\log _2}b = \frac{b}{4} \Rightarrow {\log _2}b = 4 \Rightarrow {2^4} = b \Rightarrow b = 16;a = 2\)
Câu 363: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log [ {\log \left( {{x^2} + 3x} \right) - 1}]$. A. \(\left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) B. \(\left( {2; + \infty } \right)\) C. \(\left( {1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x > 0\\ \log \left( {{x^2} + 3x} \right) - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\\ {x^2} + 3x \ge 10 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\\ x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right) \end{array} \right.\)\(\Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Câu 364: Phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực? A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - {x^2} > 0\\ {x^3} + 3{x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1.\) Khi đó: \({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) - {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{\left( {x - {x^2}} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = \left( {x - {x^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow {x^3} + 4{x^2} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( L \right)\\ x = - 2 + \sqrt 5 \\ x = - 2 - \sqrt 5 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 365: Cho \(\log 2 = a;log3 = b.\) Tính \({\log_6}90\) theo a, b. A. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b - 1}}{{a + b}}\) B. \(lo{g_6}90 = \frac{{b+1}}{{a + b}}\) C. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b +1}}{{a + b}}\) D. \(lo{g_6}90 = \frac{{2b + 1}}{{a +2 b}}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _6}90 = \frac{{\log 90}}{{\log 6}} = \frac{{\log 9 + \log 10}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{2b + 1}}{{a + b}}\)
Câu 366: Phương trình $\log_{x-3}{3-2x} > 5$ có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ 3 - 2x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset .\) Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 367: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \(\log \left( {x - 40} \right) + \log \left( {60 - x} \right) < 2\)? A. 20 B. 10 C. Vô số D. 18 Spoiler: Xem đáp án \(\log \left( {\left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right)} \right) < 2 \Rightarrow 0 < \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) < 100\) +) \(0 < \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) \Rightarrow 40 < x < 60\) +) \(\begin{array}{l} \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) < 100 \Rightarrow {x^2} - 100x + 2500 > 0\\ \Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} > 0 \Rightarrow x \ne 50 \end{array}\) Vậy có 18 số nguyên dương thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 368: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) B. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) C. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\)có một điểm cực tiểu D. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) có đường tiệm cận Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2},x \ne 0\) \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2}.\ln 2}} = \frac{2}{{x.\ln 2}}\) + \(x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\) => Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow\) A đúng. + \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) => Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow\) B đúng. + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{\log }_2}{x^2}} \right] = \infty \Rightarrow\)Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}{x^2}\) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x=0 => D đúng.
Câu 369: Cho biết tập xác định của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( { - 1 + {{\log }_{\frac{1}{4}}}x} \right)\) là một khoảng có độ dài \(\frac{m}{n}\) (phân số tối giản). Tính giá trị tổng m+n. A. m+n=6 B. m+n=5 C. m+n=4 D. m+n=7 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \(- 1 + {\log _{\frac{1}{4}}}x > 0 \Rightarrow {\log _{\frac{1}{4}}}x > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _4}x < - 1 \end{array} \right. \Rightarrow 0 < x < \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4} \Rightarrow m + n = 5\)
Câu 370: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình $H_1, H_2$ được xác định như sau: \({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\) \({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\) Gọi $S_1, S_2$ lần lượt là diện tích của các hình $H_1, H_2$. Tính tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) A. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 99\) B. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 101\) C. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102\) D. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 100\) Spoiler: Xem đáp án \({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|log\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\) \(\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)\) \(\Rightarrow 1 + {x^2} + {y^2} \le 10\left( {x + y} \right)\) \(\Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le {\left( 7 \right)^2}\) => H1 là hình tròn tâm (5;5) bán kính 7. \({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\) \(\Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} \le {\left( {7\sqrt {102} } \right)^2}\) => H2 là hình tròn tâm (50;50) bán kính \(7\sqrt {102}\) Vậy: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102.\)
