Câu 371: Cho các số thực a, b thỏa mãn \(a>b>1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \({\log _a}b > {\log _b}a\) B. \({\log _a}b < {\log _b}a\) C. \(lna>lnb\) D. \(lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {ab} \right) < 0\) Spoiler: Xem đáp án + \(a > b > 1 \Rightarrow \ln a > \ln b > 0 \Rightarrow 1 > \frac{{\ln b}}{{\ln a}} = {\log _a}b > 0 \Rightarrow\) C đúng + \(1 > {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} \Rightarrow {\log _a}b.{\log _b}a > {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} \Rightarrow {\log _b}a > {\log _a}b \Rightarrow\) B đúng + \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {ab} \right) = {\log _{{2^{ - 1}}}}\left( {ab} \right) = - 1.{\log _2}\left( {ab} \right) < 0 \Rightarrow\) D đúng.
Câu 372: Cho \({\log _b}a = x\) và \({\log _b}c = y\). Hãy biểu diễn \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right)\) theo x và y. A. \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right) = \frac{{5 + 4y}}{{6x}}\) B. \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right) = \frac{{20y}}{{3x}}\) C. \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right) = \frac{{5 + 3y^4}}{{3x^2}}\) D. \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right) = 20x+\frac{{20y}}{{3}}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _b}a = \frac{{\ln a}}{{\ln b}} = x \Rightarrow \ln a = x.\ln b\left( {a,b > 0} \right)\) \({\log _b}c = \frac{{{\mathop{\rm lnc}\nolimits} }}{{\ln b}} = y \Rightarrow {\mathop{\rm lnc}\nolimits} = y.\ln b\left( {b,c > 0} \right)\) \(\begin{array}{l} {\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right) = \frac{{\ln \left( {\sqrt[3]{{{b^5}{c^4}}}} \right)}}{{\ln \left( {ah2} \right)}} = \frac{{\ln \left( {{b^{\frac{5}{3}}}.{c^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{2.\ln a}} = \frac{{\frac{5}{3}\ln b + \frac{4}{3}\ln c}}{{2.\ln a}}\\ = \frac{{\frac{5}{3}\ln b + \frac{4}{3}y.\ln b}}{{2.x.\ln b}} = \frac{{5 + 4y}}{{6x}} \end{array}\)
Câu 373: Xét các số thực a, b thỏa mãn \(a>b>1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{min}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right).\) A. \(P_{min}=19\) B. \(P_{min}=13\) C. \(P_{min}=14\) D. \(P_{min}=15\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} P = \frac{1}{{{{\left( {{{\log }_{{a^2}}}\frac{a}{b}} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = \log _{\frac{a}{b}}^2({a^2}) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = {\left( {\frac{{{{\log }_b}{a^2}}}{{{{\log }_b}\frac{a}{b}}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = {\left( {\frac{{2{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) \end{array}\) Đặt: \(x = {\log _b}a - 1\) do a>b>1 nên x>0. Ta có: \(f(x) = 4{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^2} + 3x\) và \(f'(x) = - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3\) \(\begin{array}{l} f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8(x + 1) = 3{x^2} \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2. Giá trị nhỏ nhất \(f(2) = 15 \Rightarrow {P_{\min }} = 15.\)
Câu 374: Tính đạo hàm của hàm số \(\ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right).\) A. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\) B. \(y' = \frac{1}{{1 + \sqrt {x + 1} }}\) C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\) D. \(y' = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}.\)
Câu 375: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}(2x - 1).\) A. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\) C. \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\) D. \(S = \left( { - 1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án ĐK: \(x>\frac{1}{2}\). Khi đó: Do \(0<\frac{1}{2}<1\) nên: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1 \Leftrightarrow x < 2\) Kết hợp điều kiện xác định suy ra \(\frac{1}{2} < x < 2.\)
Câu 376: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\) B. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b\) C. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b\) D. \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {\log _2}(2{a^3}) - {\log _2}b\\ = {\log _2}2 + {\log _2}{a^3} - {\log _2}b = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b. \end{array}\)
Câu 377: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\ln (ab) = \ln a + \ln b.\) B. \(\ln (ab) = \ln a . \ln b.\) C. \(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\) D. \(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a.\) Spoiler: Xem đáp án Với các số thực dương a,b bất kì ta có: \(\ln (ab) = \ln a + \ln b.\)
Câu 378: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _2}m = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) có duy nhất một nghiệm. A. \({2^{ - 34}} \le m \le {2^2}\) B. \(m\geq 4\) hoặc \(0 \le m \le {2^{ - 34}}\) C. \(m>4\) hoặc \(0 < m < {2^{ - 34}}\) D. \(m\geq 2\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện m>0. Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) và \(y = {\log _2}m\) Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3},\) ta có: \(y' = {x^2} - 4x - 5;y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right.\) Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên để phương trình có một nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} {\log _2}m > 2\\ {\log _2}m < - 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4}\\ {0 < m < {2^{ - 34}}} \end{array}} \right..\)
Câu 379: Cho phương trình ${\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3$. Đặt \(t=x^2+5x\) phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây? A. \(t^2+10t=0\) B. \(t^2+10t-24=0\) C. \(t^2+5t=0\) D. \(t^2+5t-12=0\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 2 > 0\\ {x^2} + 7x + 12 > 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12)} \right] = {\log _2}24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12) = 24\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {(x + 1)(x + 4)} \right].\left[ {(x + 2)(x + 3)} \right] = 24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 5x + 4)({x^2} + 5x + 6) - 24 = 0\\ \Leftrightarrow {({x^2} + 5x)^2} + 10({x^2} + 5x) = 0 \end{array}\) Vậy đặt: \(t = {x^2} + 5x\) phương trình trở thành: \({t^2} + 10t = 0.\)
Câu 380: Phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.\) A. P=8 B. P=2 C. \(P=\frac{1}{4}\) D. \(P=\frac{33}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - (2 - {\log _2}x) - 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {({\log _2}x)^2} - {\log _2}x - 6 = 0 \end{array} \right. \end{array}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ ({\log _2}x - 3)({\log _2}x + 2) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 8}\\ {x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 8.\frac{1}{4} = 2\)
