Câu 381: Phương trình $\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0$. Đặt \(t = {\log _3}x.\), biểu thức nào dưới đây đúng. A. \({t^2} - 2t - 3 = 0\) B. \({t^2} - t - 3 = 0\) C. \({t^2} + t - 3 = 0\) D. \({t^2} -3t - 3 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x > 0\) \(\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {({\log _3}x)^2} - 2{\log _3}x - 3 = 0\) Đặt \(t = {\log _3}x.\) Phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right.\)
Câu 382: Tìm m để phương trình ${\log _{\sqrt 3 }}^2{x} - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0$ có nghiệm duy nhất. A. \(m=\pm1\) B. \(m=\pm3\) C. \(m=\pm 2\) D. Không tồn tại m Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _{\sqrt 3 }}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\) Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
Câu 383: Phương trình \(\log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0\) có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} - 2 > 0\\ \log x > 0 \end{array}\\ {\log x.(\log {x^3} - 2) = 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} > 2\\ x > 1 \end{array}\\ {3{{(\log x)}^2} - 2\log x - 1 = 0} \end{array}} \right. \end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \sqrt[3]{{100}}\\ (\log x - 1)(3\log x + 1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x = 1\\ \log x = - \frac{1}{3} < 0\,\,(Loai) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = 10. \end{array}\)
Câu 384: Phương trình \(\log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\) có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 10 - \log 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ (x - 3)(x - 2) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4.
Câu 385: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1.\) A. \(S = \frac{{33}}{{64}}\) B. S=12 C. S=5 D. S=66 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 32\\ x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.\) Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành: \(\begin{array}{l} \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4}\\ {x = 8} \end{array}} \right. \end{array}\)
Câu 386: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5.\) A. \(S = \frac{{65}}{{32}}\) B. \(S = \frac{{33}}{{32}}\) C. \(S =-4\) D. \(S = \frac{{61}}{{32}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\) Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Câu 387: Cho phương trình \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2.\). Nhận xét nào sau đây là đúng? A. Điều kiện xác định của phương trình là x>0 B. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=1 C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=9 D. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _3}x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1.\) \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}x - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2\) Đặt: \(t = \sqrt {2{{\log }_3}x} ,t \ge 0.\) Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,(Do\,\,t \ge 0)\) Với \(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\)
Câu 388: Phương trình \({\log _2}\left| {x - 2} \right| + {\log _2}\left| {x + 5} \right| + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\) có bao nhiêu nghiệm dương? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \({\log _2}\left| {(x - 2)(x + 5)} \right| - {\log _2}8 = 0 \Leftrightarrow \left| {(x - 2)(x + 5)} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x - 2)(x + 5) = 8}\\ {(x - 2)(x + 5) = - 8} \end{array}} \right.\) Với \((x - 2)(x + 5) = 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 6 \end{array} \right.\) Với \((x - 2)(x + 5) = - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{2}\)
Câu 389: Phương trình \({\log _2}(9 - {2^x}) = 3 - x\) tương đương với phương trình nào sau đây? A. \(9 - {2^x} = 3 - x\) B. \({x^2} - 3x = 0\) C. \({x^2} + 3x = 0\) D. \(9 - {2^x} + 3 = {2^{ - x}}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(9 - {2^x} > 0\) Ta có: \(\begin{array}{l} 9 - {2^x} = {2^{3 - x}} \Leftrightarrow 9 - {2^x} = \frac{8}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {({2^x})^2} - {9.2^x} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1}\\ {{2^x} = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 3} \end{array}} \right.. \end{array}\)
Câu 390: Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2.\) A. S=6 B. S=16 C. S=20 D. S=18 Spoiler: Xem đáp án \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2 \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0(*)\) Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Bất phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}\) Suy ra: \(S = {2^2} + {4^2} = 20\)
