Câu 31: Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {5 - x} \right) - 1} .\) A. \(\left( { - \infty ;5} \right)\) B. \(\left[ {\frac{{19}}{4}; + \infty } \right)\) C. \(\left[ {\frac{{19}}{4};5} \right)\) D. \(\left( {\frac{{19}}{4};5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x > 0\\{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {5 - x} \right) \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x > 0\\5 - x \le \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{19}}{4} \le x < 5.\)
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{{\log }_3}x}}{x}?\) A. \(y'=\frac{{1 + {{\log }_3}x}}{{{x^2}}}\) B. \(y'=\frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}\ln 3}}\) C. \(y'=\frac{{1 - {{\log }_3}x}}{{{x^2}}}\) D. \(y'=\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}\ln 3}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = {\left( {\frac{{{{\log }_3}x}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{{x\ln 3}}.x - {{\log }_3}x}}{{{x^2}}} = \frac{{1 - \ln 3.{{\log }_3}x}}{{{x^2}\ln 3}} = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}\ln 3}}.\)
Câu 33: Cho a, b là các số dương, \(b \ne 1\) thỏa mãn \({a^{\frac{{13}}{7}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) > {\log _b}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\). Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. \(0 < a < 1,\,\,b > 1\) B. \(a > 1,\,\,b > 1\) C. \(a > 1,\,\,0 < b < 1\) D. \(0 < a < 1,\,\,0 < b < 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{13}}{7} < \frac{{15}}{8} \Rightarrow a > 1\\\sqrt 2 + \sqrt 5 < 2 + \sqrt 3 \Rightarrow 0 < b < 1\end{array} \right.\) Vậy C là phương án đúng.
Câu 34: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập \(\mathbb{R}?\) A. \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\) B. \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) C. \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) D. \(y = {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\) không xác định trên \(\mathbb{R}.\) Loại A. Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) do \(\frac{1}{2} < 1.\) Xét hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) Ta có: \(y' = \frac{{({x^2} + 1)'}}{{({x^2} + 1)\ln 2}} = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2}}\) \(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0.\) Vậy hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Kiểm tra tương tự, ta thấy D là phương án đúng.
Câu 35: Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({4^x} - m{.2^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(T = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) B. \(T = \left( { - 2;2} \right).\) C. \(T = \left( {2; + \infty } \right).\) D. \(T = \left( { - \infty ;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x},t > 0 \Rightarrow PT \Leftrightarrow {t^2} - mt + 1 = 0\,\,\left( * \right)\) PT ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(t > 0.\) Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(*)}}^\prime > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\m > 0\\1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow m > 2 \Leftrightarrow T = \left( {2; + \infty } \right).\)
Câu 36: Cho a, b là các số thực dương khác 1. Chọn đẳng thức đúng. A. \({\log _a}\sqrt {a{b^3}} = \frac{1}{6}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right).\) B. \({\log _a}\sqrt {a{b^3}} = 6\left( {1 + {{\log }_a}b} \right).\) C. \({\log _a}\sqrt {a{b^3}} = 2\left( {1 + \frac{1}{3}{{\log }_a}b} \right).\) D. \({\log _a}\sqrt {a{b^3}} = \frac{1}{2}\left( {1 + 3{{\log }_a}b} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _a}\sqrt {a{b^3}} = {\log _a}\left( {{a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{3}{2}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right) + {\log _a}\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{1}{2}\left( {1 + 3{{\log }_a}b} \right).\)
Câu 37: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện \(0 < a < b < 1.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A. \(1 < {\log _a}b < {\log _b}a.\) B. \({\log _a}b < 1 < {\log _b}a.\) C. \({\log _b}a > 1 > {\log _a}b.\) D. \({\log _b}a < 1 < {\log _a}b.\) Spoiler: Xem đáp án \(0 < a < b < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b < 1\\{\log _b}a > 1\end{array} \right.\)
Câu 38: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) \ge - 1.\) A. \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\) B. \(S = \emptyset .\) C. \(S = \left( { - \infty ;4} \right].\) D. \(S = \left( {1;4} \right].\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \le 4\end{array} \right. \Rightarrow S = \left( {1;4} \right].\)
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình \({2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge a{.3^{{{\sin }^2}x}}\) có nghiệm thực. A. \(a \in \left[ {4; + \infty } \right)\) B. \(a \in \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(a \in \left( { - \infty ;4} \right]\) D. \(a \in \left( { - \infty ;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\sin ^2}x,\,\,0 \le t \le 1.\) BPT trở thành: \({2^t} + {3^{1 - t}} \ge a{.3^t} \Leftrightarrow a \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} + 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2t}} = f\left( t \right).\) BPT đã cho có nghiệm thực khi \(a \le f\left( t \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;1} \right],\) tức là \(a \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right).\) \(f'\left( t \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}\ln \frac{2}{3} + 6.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2t}}\ln \frac{1}{3} < 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 4.\) Vậy \(a \le 4.\)
Câu 40: Cho bất phương trình \(4\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {7x} \right) < 8 - 4{\log _4}\left( {49{x^2}} \right)\). Tìm tập nghiệm S của bất phương trình? A. \(S = \emptyset \) B. \(S = \left( {7;9} \right)\) C. \(S \subset \left( { - 1;6} \right)\) D. S là 1 tập hợp khác Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(4\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {7x} \right) < 8 - 4{\log _4}\left( {49{x^2}} \right) \Leftrightarrow 4\log _2^2\left( {7x} \right) + 4{\log _2}\left( {7x} \right) - 8 < 0\) Đặt \(t = {\log _2}(7x),\) bất phương trình trở thành: \(4{t^2} + 4t - 8 < 0 \Leftrightarrow - 2 < t < 1.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 < {\log _2}(7x) < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} < 7x < 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{28}} < x < \frac{2}{7}\\ \Rightarrow S = \left( {\frac{1}{{28}};\frac{2}{7}} \right).\end{array}\)
