Câu 401: Đặt \(a = {\log _3}5;b = lo{g_4}5\). Hãy biểu diễn \({\log _{15}}20\) theo a và b. A. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + a} \right)}}{{b\left( {a + b} \right)}}\) B. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + a} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}}\) C. \({\log _{15}}20 = \frac{{b\left( {1 + b} \right)}}{{a\left( {1 + a} \right)}}\) D. \({\log _{15}}20 = \frac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{15}}20 = \frac{{{{\log }_3}20}}{{{{\log }_3}15}} = \frac{{{{\log }_3}4 + {{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_3}5}} = \frac{{a\left( {1 + b} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}.\)
Câu 402: Cho các số thực a, b thỏa \(1 < a < b\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) B. \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1\) C. \(1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) D. \(\frac{1}{{{{\log }_b}a}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\) Spoiler: Xem đáp án Do \(1 < a < b\) nên \(0 < {\log _b}a < 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_b}a}} > 1\) (1) Do nên \({\log _a}b > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1\) (2) (1)(2)\(\Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < 1 < \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
Câu 403: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1.\) A. \(x < 4\) B. \(x > \frac{3}{2}\) C. \(4 > x > \frac{3}{2}\) D. \(x>4\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}5\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - 3 > 0}\\ {2x - 3 < 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > \frac{3}{2}}\\ {x < 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 4 > x > \frac{3}{2}. \end{array}\)
Câu 404: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \log \left( {{x^3} - 3x + 2} \right).\) A. \(D = \left( { - 2;1} \right)\) B. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\) C. \(D = \left( { 1; + \infty } \right)\) D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \({x^3} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x > - 2 \end{array} \right.\)
Câu 405: Cho \({\log _5}3 = a,\,{\log _7}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{15}}105\) theo a và b. A. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\) B. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + ab}}{1+a}\) C. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + a + b}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\) D. \({\log _{15}}105 = \frac{{1 + b + ab}}{{\left( {1 + a} \right)b}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _5}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}5}} = \frac{1}{b}\) \({\log _{12}}105 = \frac{{{{\log }_5}105}}{{{{\log }_5}15}} = \frac{{lo{g_5}(3.5.7)}}{{lo{g_5}(3.5)}} = \frac{{1 + {{\log }_5}3 + {{\log }_5}7}}{{1 + {{\log }_5}3}} = \frac{{1 + b + ab}}{{b(1 + a)}}\)
Câu 406: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? A. \(y = - {\log _{\frac{1}{3}}}x\) B. \(y = {\log _\pi }x\) C. \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) D. \(y = {\log _2}x\) Spoiler: Xem đáp án Với a>1 thì hàm số \({\log _a}x\) đồng biến, hàm số \(- {\log _a}x\) và \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) nghịch biến trên tập xác định. Với 0<a<1 thì hàm số \({\log _a}x\) nghịch biến, hàm số \(- {\log _a}x\) và \({\log _a}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) đồng biến trên tập xác định. Vậy: Dựa vào các kết quả trên, ta có các hàm số ý A, B, D đồng biến trên TXĐ, hàm số ở ý C nghịch biến trên TXĐ.
Câu 407: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - {x^2}} \right).\) A. \(D = \left( {0;\,2} \right)\) B. \(D = \left[ {0;\,2} \right]\) C. \(D = \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\) D. \(D = \left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định của hàm số đã cho là \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\) Vậy tập xác định: \(D = \left( {0;\,2} \right).\)
Câu 408: Cho \(a > 0,\,a \ne 1\); x,y là hai số thực dương. Tìm mệnh đề đúng? A. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) B. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) C. \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x . {\log _a}y\) D. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y\) Spoiler: Xem đáp án Công thức đúng là: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
Câu 409: Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _2}5,c = {\log _2}7\). Biểu diễn \({\log _{60}}1050\) theo a, b, c. A. \({\log _{60}}1050 = \frac{{1 + a + 2b + c}}{{1 + 2a + b}}\) B. \({\log _{60}}1050 = \frac{{1 + a + 2b + c}}{{2 + a + b}}\) C. \({\log _{60}}1050 = \frac{{1 + a + b + 2c}}{{1 + 2a + b}}\) D. \({\log _{60}}1050 = \frac{{1 + 2a + b + c}}{{2 + a + b}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _{60}}1050 = \frac{{{{\log }_2}1050}}{{{{\log }_2}60}} = \frac{{{{\log }_2}(2.5.5.3.7)}}{{{{\log }_2}(2.2.3.5)}}\\ = \frac{{1 + 2{{\log }_2}(5) + {{\log }_2}(3) + {{\log }_2}(7)}}{{2 + {{\log }_2}(3) + {{\log }_2}(5)}} = \frac{{1 + a + 2b + c}}{{2 + a + b}} \end{array}\)
Câu 410: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\) A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\) B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\) C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\) D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\) Do đó ta có: \(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
