Câu 411: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {{x^2} + x + 1} \right).\) A. \(y' = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) B. \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\ln 10}}{{{x^2} + x + 1}}\) C. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) D. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 10}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = \log \left( {{x^2} + x + 1} \right) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\ln 10}}\\ \Rightarrow y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{\ln 10\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)}}{{\ln 10\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \end{array}\)
Câu 412: Cho \(0 < a < 1.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\) B. \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y\) C. \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x < y\) D. \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y\) Spoiler: Xem đáp án Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}t\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\) Mà \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\)
Câu 413: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {{\log }_2}({x^2} + 2x + 1) - 3} }}\). A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\) C. \(D = \left( { - \infty ;7} \right)\) D. \(D = \left( {0;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 3 > 0\,(*) \end{array} \right.\) \(( * ) \Leftrightarrow {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) - 3 > 0\) Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1\\ t > 3 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) < - 1\\ {\log _2}(x + 1) > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x + 1 < \frac{1}{2}\\ x + 1 > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < - \frac{1}{2}\\ x > 7 \end{array} \right.\) Vậy tâp xác định của hàm số là: \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
Câu 414: Cho biểu thức $Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - 2{\log _a}\left( {a\sqrt[4]{b}} \right) + 3{\log _b}b$, biết a,b là các số thực dương khác 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \({2^Q} = {\log _Q}16\) B. \({2^Q} > {\log _Q}16\) C. \({2^Q} < {\log _Q}15\) D. \(Q=4\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - 2{\log _a}\left( {a\sqrt[4]{b}} \right) + 3{\log _b}b\\ = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) + 3\\ = {\log _a}\frac{{a\sqrt b }}{{{a^2}\sqrt b }} + 3\\ = {\log _a}\frac{1}{a} + 3 = - 1 + 3 = 2 \end{array}\)
Câu 415: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2.\) A. \(S = \left( {1;2} \right)\) B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\) C. \(S = \left[ {1;2} \right]\) D. \(S = \left( {1;2} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện x>1. Khi đó ta có: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2 \end{array}\) Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left( {1;2} \right]\)
Câu 416: Cho phương trình \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\) và các phát biểu sau: (1) x=0 là nghiệm của phương trình (2) Phương trình có nghiệm dương (3) Cả 2 nghiệm của phương trình đã cho đều nhỏ hơn 1 (4) Phương trình có tổng 2 nghiệm là \(- {\log _5}\left( {\frac{3}{7}} \right)\) Có bao nhiêu phát biểu đúng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0 \Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\left( {t > 0} \right)\) Phương trình trở thành: \(\begin{array}{l} 3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\\ t = 1 \Rightarrow x = 0\\ t = \frac{7}{3} \Rightarrow x = {\log _5}\frac{7}{3} \end{array}\)
Câu 417: Cho \({\log _3}15 = a;{\log _3}10 = b\). Biểu diễn \(P = {\log _3}50\) theo a và b. A. \(P = a + b - 1\) B. \(P = a - b - 1\) C. \(P = 2a + b - 1\) D. \(P = a +2b - 1\) Spoiler: Xem đáp án \(P = {\log _3}50 = {\log _3}\frac{{150}}{3} = {\log _3}15 + {\log _3}10 - 1 = a + b - 1\)
Câu 418: Cho $A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \({\log _A}626 = 2\) B. \({616^{{{\log }_A}9}} = 3\) C. \(A = 313\) D. \({\log _2}A = 1 + {\log _2}313\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} = {\log _2}6 + {\log _2}9 - {\log _2}27 + {\left( {{3^{{{\log }_3}5}}} \right)^4}\\ = {\log _2}\frac{{6.9}}{{27}} + {5^4} = 1 + 625 = 626\\ \Rightarrow {\log _2}626 = {\log _2}(2.313) = 1 + {\log _2}313 \end{array}\)
Câu 419: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right).\) A. \(y' = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\) B. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\) C. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {{{(x - 1)}^2}} }}\) D. \(y' = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(y'=\frac{\left ( 1-\sqrt{x-1} \right )'}{1-\sqrt{x-1}}\)\(= \frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}}}{{1 - \sqrt {x - 1} }} = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\)
Câu 420: Cho $P = {\log _a}\sqrt[3]{{\sqrt a }} $. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(P = a\) B. \(P = 1\) C. \(P =\frac{ a}{6}\) D. \(P = \frac{1}{6}\) Spoiler: Xem đáp án \(P = {\log _a}\sqrt[3]{{\sqrt a }} = {\log _a}{a^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{6}\)
