Câu 441: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {\cos x} \right)\). A. \(y' = \tan x\) B. \(y' = - \tan x\) C. \(y' = \frac{1}{{\cos x}}\) D. \(y' = - \frac{1}{{\sin x}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \left( {\ln \left( {\cos x} \right)} \right)' = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = - \tan x\)
Câu 442: Tìm m để phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm biết m là số thực dương. A. \(m = \frac{1}{{4e}}\) B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\) C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\) D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện x > 0 Với m > 0, xét hàm số \(f(x) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \((0;+\infty )\) Ta có với x > 0 thì: \(f'(x) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\) \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\) \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\) Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty\) Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\). Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln (4m) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
Câu 443: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}(a + b)\). Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}\). A. \(T = \frac{4}{3}\) B. \(T = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\) C. \(T = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) D. \(T = \frac{8}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(k = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}(a + b)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = {9^k}\\ b = {12^k}\\ a + b = {16^k} \end{array} \right. \Rightarrow {9^k} + {12^k} = {16^k} \Rightarrow \frac{{{9^k}}}{{{{16}^k}}} + \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} = 1\) \(\Rightarrow T = \frac{b}{a} = \frac{{{4^k}}}{{{3^k}}} = \frac{1}{t} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}\) Đặt \(t = \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t^2} + t - 1 = 0\\ t > 0 \end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Câu 444: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log _2} {\frac{x}{{x - 2}}} - m = 0$ có nghiệm. A. \(1 \le m < + \infty\) B. \(1 < m < + \infty\) C. \(0 \le m < + \infty\) D. \(0 < m < + \infty\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = m\\ x > 2 \end{array} \right.\) Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f(x)\) với \(f(x) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \((2;+\infty )\) Ta có: \(f'(x) = - \frac{2}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0,\forall x > 2\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\) Suy ra: \(1 < f(x) < + \infty\) \(\Rightarrow lo{g_2}f(x) \in (0; + \infty )\) Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty\)
Câu 445: Cho a, b > 0, rút gọn biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b\). A. \(P = {\log _2}\left( {\frac{{2b}}{a}} \right)\) B. \(P = {\log _2}\left( {{b^2} - a} \right)\) C. \(P = {\log _2}\left( {a{b^2}} \right)\) D. \(P = {\log _2}\left( {\frac{{{b^2}}}{a}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b = {\log _{{2^{ - 1}}}}a + 4{\log _{{2^2}}}b = - {\log _2} + 2{\log _2}b\\ = - {\log _2} + {\log _2}{b^2} = {\log _2}\frac{b}{a} \end{array}\)
Câu 446: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 3.\) A. \(x < 7\) B. \(x > 7\) C. \(- 1 < x < 8\) D. \(- 1 < x < 7\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\) \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 3 \Leftrightarrow {\log _{{2^{ - 1}}}}(x + 1) > - 3 \Leftrightarrow - lo{g_2}(x + 1) > - 3\) \(\Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) < 3 \Leftrightarrow x + 1 < {2^3} \Leftrightarrow x < 7\) Vậy \(- 1 < x < 7\).
Câu 447: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}(x + 1).\) A. \(y' = \frac{1}{{(x + 1)ln2}}.\) B. \(y' = \frac{{ln2}}{{(x + 1)}}.\) C. \(y' = \frac{1}{{x + 1}}.\) D. \(y' = \frac{1}{{lo{g_2}(x + 1)}}.\) Spoiler: Xem đáp án \((lo{g_2}(x + 1))' = \frac{{(x + 1)'}}{{(x + 1)ln2}} = \frac{1}{{(x + 1)ln2}}\)
Câu 448: Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số $2^{30}$ trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số $30^2$ trong hệ nhị phân. Tính tổng $m+n$. A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 Spoiler: Xem đáp án Kí hiệu: [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x. Số chữ số cần dùng khi viết số tự nhiên A trong hệ n-phân là \({\rm{[}}{\log _n}A] + 1\). Vậy: \(\begin{array}{l} m = \left[ {\log {2^{30}}} \right] + 1 = {\rm{[}}30\log 2] + 1 = 10\\ n = {\rm{[}}{\log _2}{30^2}{\rm{]}} + 1 = {\rm{[}}2{\log _2}30] + 1 = 10\\ \Rightarrow m + n = 20 \end{array}\)
Câu 449: Tìm tập xác định D của hàm \(y = lo{g_3}\left( {{x^2}-5x + 6} \right)\). A. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) B. \(D= \left( {2;3} \right)\) C. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\) D. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \({x^2} - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 2 \end{array} \right.\) Vậy tập xác định \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 450: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {\log _7}\left[ {\left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1} \right]\) xác định trên \(\mathbb{R}\). A. \(m \ge 2\) B. \(2 \le m \le 5\) C. \(2 < m < 5\) D. \(1 < m < 5\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} \left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1 > 0,\forall x \in\mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ \Delta ' = {(m - 3)^2} - (m - 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ {m^2} - 7m + 10 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 2 < m < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 5 \end{array}\)
