Câu 471: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\) A. \(P = \frac{3}{{10}}\) B. \(P = 4\) C. \(P = \frac{1}{2}\) D. \(P = \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(a\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}} = a.{a^{\frac{1}{5}}}.{a^{\frac{1}{{15}}}}.{a^{\frac{1}{{30}}}} = {a^{\frac{3}{{10}}}}\) \(\Rightarrow P = {\log _a}{a^{\frac{3}{{10}}}} = \frac{3}{{10}}.\)
Câu 472: Giải bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\). A. \(x \in \left( { - 3;1} \right)\) B. \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(x \in \left( { - 2;1} \right)\) D. \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 6x + 8 > 0\\ 4x + 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 2 \end{array} \right.\\ x > \frac{{ - 11}}{4} \end{array} \right. \Rightarrow x > - 2\) Với điều kiện trên, ta biến đổi tương đương bất phương trình như sau> \({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\) \(\Leftrightarrow 4x + 11 > {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0\) \(\Leftrightarrow - 3 < x < 1\) Kết hợp điều kiện ta có: tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 2;1} \right)\).
Câu 473: Cho a, b là các số thực thỏa mãn \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và \({\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(0 < a < 1,b > 1\) B. \(0 < a < 1,0 < b < 1\) C. \(a > 1,b > 1\) D. \(a > 1,0 < b < 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt 3 }}{3} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ {a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \end{array} \right. \Rightarrow 0 < a < 1\) \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\\ {\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5} \end{array} \right. \Rightarrow b > 1\)
Câu 474: Cho hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) (với \(a > 0,a \ne 1\)). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\) B. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang C. Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi \(0 < a < 1\) D. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nằm phía trên trục Ox. Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận Ox làm tiệm cận ngang vì \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to - \infty } = 0\) nếu a>1 và \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to + \infty } = 0\) nếu 0<a<1. Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên tập xác định khi 0<a<1 vì \(({a^x})' = {a^x}\ln a < 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\) và \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}} < 0,\forall x > 0,a \in \left( {0;1} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) có hai phần nằm phía trên và phía dưới Ox, nên D sai.
Câu 475: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\). A. \(D=\left[ {{e^2}; + \infty } \right)\) B. \(D=\left[ {\frac{1}{{{e^2}}}; + \infty } \right)\) C. \(D=\left( {0; + \infty } \right)\) D. D=8 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác đinh của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\) là \(\ln x + 2 \ge 0 \Rightarrow \ln x \ge - 2 \Rightarrow x \ge \frac{1}{{{e^2}}}\)
Câu 476: Đặt \(a = {\log _7}11,\,b = {\log _2}7\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}\) theo a và b A. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6{\rm{a}} - \frac{9}{b}\) B. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = \frac{2}{3}a - \frac{9}{b}\) C. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a + \frac{9}{b}\) D. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - 9b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có : \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = {\log _{{7^{\frac{1}{3}}}}}\frac{{121}}{8} = 6{\log _7}11 - 3{\log _7}8\) \(= 6{\log _7}11 - 9{\log _7}2 = 6{\log _7}11 - \frac{9}{{{{\log }_2}7}}\) Nên: \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - \frac{9}{b}\)
Câu 477: Phương trình \({\log _2}\left( {4x} \right) - {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3\) có bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\) Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với : \({\log _2}4 + {\log _2}x - 2{\log _x}2 = 3\) \(\Rightarrow {\log _2}x - \frac{2}{{{{\log }_2}x}} - 1 = 0 \Rightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - 2 = 0\). . \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 2\\ {\log _2}x = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 478: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| {\sin x} \right|\). A. \(y' = \ln \left| {\cos x} \right|\) B. \(y' = \cot x\) C. \(y' = \tan x\) D. \(y' = \frac{1}{{\sin x}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {\ln \left| u \right|} \right)' = \frac{{u'}}{u};\,\,\left( {\sin x} \right)' = \cos x\), Vậy: \(y' = \left( {\ln \left| {\sin x} \right|} \right)' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {\mathop{\rm cotx}\nolimits}\)
Câu 479: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}({x^2} + 1)\). A. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\) B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2017}}\) C. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\) D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \left( {{{\log }_{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
Câu 480: Đặt \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo a và b. A. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3(a + b - 1)\) B. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = (a + b - 1)\) C. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2(a + b - 1)\) D. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 4(a + b - 1)\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}50 = 2({\log _3}5 + {\log _3}10)\) \(= 2(lo{g_3}\frac{{3.5}}{3} + {\log _3}10) = 2\left( {{{\log }_3}15 - 1 + {{\log }_3}10} \right) = 2(a + b - 1)\)
