Câu 41: Với a, b > 0, cho \({\log _{a{b^{ - 3}}}}a = \frac{1}{4}\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\log _{{a^3}b}}\sqrt {\frac{{{a^5}}}{b}} .\) A. \(P = - \frac{1}{2}\) B. \(P = \frac{3}{2}\) C. \(P = \frac{5}{4}\) D. \(P = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{a{b^{ - 3}}}}a = \frac{1}{{1 - 3{{\log }_a}b}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {\log _a}b = - 1.\) Suy ra: \({\log _{{a^3}b}}\sqrt {\frac{{{a^5}}}{b}} = \frac{5}{2}{\log _{{a^3}b}}a - \frac{1}{2}{\log _{{a^3}b}}b = \frac{5}{2}.\frac{1}{{3 + {{\log }_a}b}} - \frac{1}{2}.\frac{1}{{1 + 3{{\log }_b}a}} = \frac{5}{2}.\frac{1}{{3 - 1}} - \frac{1}{2}.\frac{1}{{1 - 3}} = \frac{3}{2}.\)
Câu 42: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào sau đây? A. \(y = {\log _3}x\) B. \(y = {\log _2}x + 1\) C. \(y = {\log _2}(x + 1)\) D. \(y = {\log _3}(x + 1)\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: + Hàm số đồng biến trên khoảng xác định. + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 1.\) Loại câu A. + Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right),\,\,\left( {3;2} \right).\)Loại câu B, D. Vậy C là phương án đúng.
Câu 43: Cho \({a^{\frac{{19}}{5}}} < {a^{\frac{{15}}{7}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 7 } \right) > {\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(a > 1,\,\,0 < b < 1\) B. \(0 < a < 1,\,\,b > 1\) C. \(0 < a < 1,\,\,0 < b < 1\) D. \(a > 1,\,\,b > 1\) Spoiler: Xem đáp án Xét: \({a^{\frac{{19}}{5}}} < {a^{\frac{{15}}{7}}}\) Ta có: \(\frac{{19}}{5} > \frac{5}{7} \Rightarrow 0 < a < 1.\) Xét: \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 7 } \right) > {\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right).\) Ta có: \(\sqrt 2 + \sqrt 7 > \sqrt 2 + \sqrt 5 \Rightarrow b > 1.\)
Câu 44: Phương trình \({\log _3}\left( {x - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án ĐK: \(x \ge 5\) Ta có: \({\log _3}\left( {x - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 5} \right) + {\log _3}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt 2 \\x = 4 - \sqrt 2 \left( {loai} \right)\end{array} \right.\) Vậy phương trình này có 1 nghiệm.
Câu 45: Tìm giá trị thực của m để phương trình \({2^{3 - {x^2}}}{.5^{2x + m}} = 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 2 .\) A. m = 2 B. \(m = \sqrt 2 \) C. \(m = - {\log _2}5\) D. \(m = {\log _5}2\) Spoiler: Xem đáp án \({2^{3 - {x^2}}}{.5^{2x + m}} = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^{3 - {x^2}}}{{.5}^{2x + m}}} \right) = {\log _2}2 \Leftrightarrow \left( {3 - {x^2}} \right) + {\log _2}{5^{2x + m}} = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2 - \left( {2x + m} \right){\log _2}5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x.{\log _2}5 - 2 - m{\log _2}5 = 0\) PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi: \(\,\Delta ' = 4{\log _2}^25 + 2 + m{\log _2}5 > 0.\) Khi đó theo Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2{\log _2}5\\{x_1}{x_2} = - 2 - m{\log _2}5\end{array} \right.\) Ta có: \({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4{\log _2}^25 + 4\left( {2 + m{{\log }_2}5} \right) = 8 \Leftrightarrow m = - {\log _2}5.\)
Câu 46: Bất phương trình \(\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(\forall x \in \mathbb{R}\) với bao nhiêu giá trị nguyên của m? A. Vô số. B. 3 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{x^2} + 4x + m > 0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m\end{array} \right.\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{x^2} + 4x + m > 0\\\left( {m - 5} \right){x^2} + 4x + m - 5 \le 0\end{array} \right.\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\end{array}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4 - {m^2} < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\4 - {\left( {m - 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \le 3\end{array} \right.,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 3.\)
Câu 47: Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn \({3^x} = {4^y} = {12^{ - x}}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = xy + yz + zx\). A. P = 12 B. P = 144 C. P = 1 D. P = 0 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {3^x} = {4^y} = {12^{ - z}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _3}t\\y = {\log _4}t\\z = - {\log _{12}}t\end{array} \right.\) Suy ra: \(P = {\log _3}t.{\log _4}t - {\log _3}t.{\log _{12}}t - {\log _{12}}t.{\log _4}t = \log _3^2t\left( {{{\log }_4}3 - {{\log }_{12}}3 - {{\log }_4}3.{{\log }_{12}}3} \right)\,\) \( \Leftrightarrow \,P = {\log _3}^2t\left( {{{\log }_4}3 - \frac{1}{{1 + {{\log }_3}4}} - \frac{{{{\log }_4}3}}{{1 + {{\log }_3}4}}} \right) = {\log _3}^2t.\frac{{{{\log }_4}3 + 1 - 1 - {{\log }_4}3}}{{1 + {{\log }_3}4}} = {\log _3}^2t.0 = 0\)
Câu 48: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left| {5x + 1} \right|.\) A. \(y' = \frac{1}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}}\) B. \(y' = \frac{5}{{\left| {5x + 1} \right|}}\) C. \(y' = \frac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}}\) D. \(y' = \frac{5}{{\left| {5x + 1} \right|\ln 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\left( {{{\log }_a}\left| {f\left( x \right)} \right|} \right)^\prime } = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)\ln a}} \Rightarrow y' = \frac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}}\)
Câu 49: Phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}3.{\log _3}x = 2\) có bao nhiêu nghiệm? A. Vô nghiệm. B. 2 nghiệm. C. vô số nghiệm. D. 1 nghiệm. Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _4}3.{\log _3}x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x > 0\\{\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{\log _2}\left[ {x\left( {x - 3} \right)} \right] = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x\left( {x - 3} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 4\end{array}\)
Câu 50: Nếu \(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{x} + \ln \left| {2x} \right| + C} \) thì hàm số f(x) là: A. \(f\left( x \right) = \sqrt x + \frac{1}{{2x}}\) B. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}\) C. \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + \ln \left( {2x} \right)\) D. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x} + \ln \left| {2x} \right| + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2x}} = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}.\)
