Câu 491: Cho hàm số \(f(x) = \ln \left( {2008x - {x^2}} \right)\). Giải bất phương trình \(f'(x) > 0.\) A. x<1004 B. 0<x<1004 C. x>2008 D. 0<x<2008 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(2008x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2008\) \(f'(x) = \frac{{2008 - 2x}}{{2008x - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow 2008 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 1004\) Kết hợp điều kiện: 0<x<1004
Câu 492: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 + 2x}}{x} < 0\). A. \(S = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) B. \(S = \left( { - 1;0} \right)\) C. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\log _3}\frac{{1 + 2x}}{x} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{x} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{x} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{x} > 0\\ \frac{{1 + x}}{x} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < - \frac{1}{2} \vee x > 0\\ - 1 < x < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 < x < - \frac{1}{2} \end{array}\)
Câu 493: Bất phương trình \((x - 3)(\log x + 1) < 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} (x - 3)(\log x + 1) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 3 < 0\\ \log x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x - 3 > 0\\ \log x + 1 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} < x < 3 \end{array}\) \(x \in \mathbb{Z}\Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Câu 494: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{6}}}\left[ {{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)} \right] > 0\). A. \(S = \left( {5; + \infty } \right)\) B. \(S = \left( { - 4;1} \right)\) C. \(S = \left( { - \infty ;5} \right)\) D. \(S = \left( {3;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{\pi }{6}}}\left[ {{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)} \right] > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _3}(x - 2) > 0\\ {\log _3}(x - 2) < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 1\\ 0 < x - 2 < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 5.\)
Câu 495: Phương trình \({\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1\) có bao nhiêu nghiệm. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(0 < x \ne \frac{1}{3}\) \(\begin{array}{l} {\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}\left( {\frac{3}{x}} \right)}}{{{{\log }_3}3x}} + {\log _3}^2x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} + {\log _3}^2x = 1 \Leftrightarrow \left( {1 - {{\log }_3}x} \right)\left[ {1 - {{\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _3}x = 1\\ 1 + {\log _3}x = \pm 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1\\ x = \frac{1}{9} \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 496: Phương trình \(\left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) trong đó \({x_1} > {x_2}\). Tính \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\). A. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 8\sqrt 2\) B. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 4\sqrt 2\) C. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 2\sqrt 2\) D. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \sqrt 2\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện x>0. \(\begin{array}{l} \left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 7{\log _2}x + 3 = 0 \end{array}\) Đặt \(t = {\log _2}x\) ta có: \(2{t^2} - 7t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) \(t = 3 \Rightarrow {x_1} = 8.\) \(t = \frac{1}{2} \Rightarrow {x_2} = \sqrt 2\) \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2\)
Câu 497: Phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\) có một nghiệm có dạng \(a + {\log _2}b\). Tính tổng a+b. A. a+b=7 B. a+b=5 C. a+b=3 D. a+b=1 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \({2^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\) \(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2 \Leftrightarrow {2^x} - 1 = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {2^x} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {\frac{5}{4}} \right) \Leftrightarrow x = {\log _2}5 - 2 \end{array}\) Vây a=-2; b=5 nên a+b=3. Câu 498: Đặt \(t = {\log _2}x\). Tìm các giá trị của t thỏa phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\). A. t=3;t=-3 B. t=9;t=-9 C. t=3 D. t=9 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: x>0 Ta có: \(\begin{array}{l} {\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}^4x = 81 \end{array}\) Suy ra: \({t^4} = 81 \Leftrightarrow t = \pm 3\)
Câu 499: Phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tích \({x_1}.{x_2}\) A. -9 B. -15 C. -18 D. -21 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\) \(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Câu 500: Cho phương trình \({\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Phương trình có hai nghiệm dương. B. Phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm dương. C. Phương trình có hai nghiệm âm. D. Phương trình vô nghiệm. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^2} + 4x + 12 > 0,\forall x\) \(\begin{array}{l} {\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 12 = {3^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = - 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 501: Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = (3 + \ln x)\ln x\). A. \(f'(x) = 1\) B. \(f'(x) = \left( {3 + \frac{1}{x}} \right).\frac{1}{x}\) C. \(f'(x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\) D. \(f'(x) = \frac{{ - 2 - \ln x}}{x}\) Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = \left( {3 + \ln x} \right)'\ln x + \left( {\ln x} \right)'\left( {3 + \ln x} \right) = \frac{1}{x}\ln x + \frac{1}{x}(3 + \ln x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)
