Câu 502: Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\). A. \(A = \frac{{62}}{5}\) B. \(A = \frac{{16}}{5}\) C. \(A = \frac{{22}}{5}\) D. \(A = \frac{{67}}{5}\) Spoiler: Xem đáp án \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{4}{5} - \frac{1}{3}}} = {\log _a}{a^{\frac{{62}}{{15}}}} = \frac{{62}}{5}.\)
Câu 503: Tìm tập xác định của hàm số \(f(x) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {x + 1} - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - {\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}\). A. \(D = \left( {1;3} \right)\) B. \(D = \left( {-1;1} \right)\) C. \(D = \left( {-\infty ;3} \right)\) D. \(D = \left( 1;{+\infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ 3 - x > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x < 3\\ x > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\\ \Rightarrow D = \left( {1;3} \right) \end{array}\)
Câu 504: Đặt \(\log 4 = a\), biểu diễn \(\log 4000\,\) theo a. A. \(\log 4000\, = 3 + a\) B. \(\log 4000\, = 4 + a\) C. \(\log 4000\, = 3 + 2a\) D. \(\log 4000\, = 4 + 2a\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\log 4000 = \log 4.\log 1000 = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3\)
Câu 505: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a>1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0.\) B. Nếu 0<a<1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N\). C. Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M.{\log _a}N\). D. Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}2016 > {\log _a}2017.\) Spoiler: Xem đáp án Mệnh đề C sai, điều chỉnh lại như sau: Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M + {\log _a}N\).
Câu 506: Giải bất phương trình \({\log _2}4x < 3\). A. 0<x<2 B. x<2 C. x>2 D. x>0 Spoiler: Xem đáp án \({\log _2}4x < 3 \Leftrightarrow 0 < 4x < 8 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
Câu 507: Gọi \(T = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}x}} + \frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}\), với a, b, c, x thích hợp để biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. \(T = {\log _{abcd}}x\) B. \(T = loa{g_x}\left ( abcd \right )\) C. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\) D. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\) Spoiler: Xem đáp án Các công thức cần nhớ: \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left ( xy \right )\left( 2 \right)\) Áp dụng vào bài toán này. Ta có \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\) (áp dụng công thức (1)). Vậy ý D đúng. \(T= \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\) (áp dụng công thức (2)). Vậy ý C đúng. \(T={\log _{abcd}}x\) (áp dụng công thức(1) ). Vậy ý A đúng. Chỉ còn lại ý B. Vậy chúng ta chọn B.
Câu 508: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\). A. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) B. \(S = ( - 4;1)\) C. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\) D. Một kết quả khác. Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \vee x < - 1\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 2 \end{array} \right.\) \({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > - 2x + 4\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 1 \end{array} \right.\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 1 < x < 2 \end{array} \right.\) Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 509: Cường độ một trận động đất được xác định bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\) độ Richter, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản? A. 1000 lần B. 10 lần C. 2 lần D. 100 lần Spoiler: Xem đáp án Ta có \(M = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} = {10^8}\) Tương tự \(\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = {10^6} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^6}}} = 100\)
Câu 510: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}({x^2} + 1)\). A. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\) B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2017}}\) C. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\) D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 511: Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó \(c - b \ne 1\) và \(c + b \ne 1\). Kết luận nào sau đây là đúng? A. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\) B. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\) C. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\) D. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác vuông nên: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) \({a^2} = {c^2} - {b^2} = \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right).{\rm{ }}\left( * \right)\) Ta có: \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\) \(= \frac{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right) + {{\log }_a}\left( {c + b} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right)} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\) \(= {\log _a}\left( {{a^2}} \right).{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)\(= 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\) (Áp dụng công thức \({\log _\alpha }\beta = \frac{1}{{{{\log }_\beta }\alpha }}\) ) Vậy đáp án đúng là đáp án A.
