Câu 512: Một học sinh giải bài toán: “Biết \({\log _{27}}5 = a;{\log _8}7 = b;{\log _2}3 = c\) . Tính \({\log _6}35\) lần lượt như sau: I. Ta có \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5.\) Suy ra \({\log _3}5 = 3a\) nên \({\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac\) II. Tương tự \(b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\) III. Từ đó: \({\log _6}35 = {\log _6}2.{\log _2}\left( {5.7} \right) = \frac{1}{{{{\log }_2}6}}\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7} \right)\)\(= \frac{{3ac + 3b}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3ac + 3b}}{{1 + c}}\) Kết luận nào sau đây là đúng? A. Lời giải trên sai từ giai đoạn I. B. Lời giải trên sai từ giai đoạn II. C. Lời giải trên sau từ giai đoạn III. D. Lời giải trên đúng. Spoiler: Xem đáp án Xét giai đoạn thứ nhất: Đây là một giai đoạn đúng. Ta có \({\log _3}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _3}5.{\log _2}3\) Tương tự với giai đoạn II và giai đoạn III đều đúng. Vậy đáp án cuối cùng là D.
Câu 513: Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {1 - x} \right)\). A. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{x - 1}}\) B. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}}\) C. \(f'\left( x \right) = 2\ln \left( {1 - x} \right)\) D. \(f'\left( x \right) = - 2\ln \left( {1 - x} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = \left[ {{\ln}^2}(1 - x) \right ]'\) \(= 2\ln (1 - x).\left[ {\ln (1 - x)} \right]' = 2\ln (1 - x).\frac{{ - 1}}{{1 - x}}\) \(= \frac{{2\ln (1 - x)}}{{x - 1}}\)
Câu 514: Đặt \(a = {\log _{15}}3\). Hãy biểu diễn \({\log _{25}}15\) theo a. A. \({\log _{25}}15 = \frac{3}{{5\left( {1 - a} \right)}}\) B. \({\log _{25}}15 = \frac{5}{{3\left( {1 - a} \right)}}\) C. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\) D. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{5\left( {1 - a} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(a = {\log _{15}}3\). Do vậy ta cần biến đổi \({\log _{25}}15\) về \({\log _{15}}3\) Ta có \({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_{15}}15}}{{{{\log }_{15}}25}} = \frac{1}{{{{\log }_{15}}25}}\) \(= \frac{1}{{{{\log }_{15}}{5^2}}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}5} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}15 - {{\log }_{15}}3} \right)}}\) \(= \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\). Đáp án C.
Câu 515: Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây đúng? A. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\) B. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\) C. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\) D. Cả ba phương án trên đều sai Spoiler: Xem đáp án Đáp án A đúng. B và C sai do thiếu điều kiện của cơ số a. A đúng nên D sai.
Câu 516: Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) . A. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) B. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) C. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}\) D. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 517: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1\). A. \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) B. \(x \in \left[ {0;2} \right)\) C. \(x \in \left[ {0;2} \right) \cup \left( {3;7} \right]\) D. \(\left[ {0;1} \right) \cup \left( {2;3} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x < 1 \end{array} \right.\) Chú ý hệ số a logarit \(0 < a < 1\) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\) Kết hợp điều kiện chọn C
Câu 518: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) - 1}\). A. \(D = \left[ {3;\frac{{10}}{3}} \right)\) B. \(D = \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\) C. \(D = \left( { - \infty ;\frac{{10}}{3}} \right]\) D. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ở đây có 2 dạng điều kiện cần lưu ý đó là: Điều kiện để logarit xác định. Điều kiện để căn xác định. Giải bài toán như sau: ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3 > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ { - {{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {{{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \le - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x - 3 \le {3^{ - 1}}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x \le \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\) \(x \in \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\). Đáp án B.
Câu 519: Đặt \({\log _2}6 = a\) và \({\log _2}7 = b\). Hãy biểu diễn \({\log _3}7\) theo a và b. A. \({\log _3}7 = \frac{b}{{a - 1}}\) B. \({\log _3}7 = \frac{a}{{b - 1}}\) C. \({\log _3}7 = \frac{b}{{1 - a}}\) D. \({\log _3}7 = \frac{a}{{1 - b}}\) Spoiler: Xem đáp án Với dạng bài biểu diễn một logarit theo 2 logarit đã cho thì bước đầu tiên là chuyển logarit cơ số cần tìm về cơ số ban đầu, rồi phân tách như sau: Ta có: \({\log _3}7 = \frac{{{{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{b}{{{{\log }_2}6 - {{\log }_2}2}} = \frac{b}{{a - 1}}\) Vậy đáp án là A.
Câu 520: Giải phương trình \({\log _x}\left( {{x^2} + 3x + 5} \right) = 2{\rm{ }}\). A. \(x = \frac{5}{3}\) B. Phương trình VN C. \(x = \frac{{ - 3}}{5}\) D. \(x = \frac{{ - 5}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 5 > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) Phương trình \(\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 5 = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5}}{3}\). Thay vào điều kiện ban đầu thì thỏa mãn, nên ta chọn đáp án D. Ở đây ta cũng có thể thay vào để thử nghiệm .
Câu 521: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \(\log x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) B. \({\log _3}x \le 0 \Leftrightarrow 0 < x \le 1\) C. \({\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0\) D. \({\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\) Spoiler: Xem đáp án Với ý A. Ta có \(\log x \ge 0 \Leftrightarrow \log x \ge \log 1 \Leftrightarrow x \ge 1\) (mệnh đề này đúng) Với ý B. Tương tự ý A ta có \({\log _3}x \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0}\\ {{{\log }_3}x \le {{\log }_3}1} \end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 1} \right.\) (mệnh đề này đúng) Với ý C. Ta nhận thấy mệnh đề này sai do cơ số \(\frac{1}{3}\) nằm trong khoảng (0;1) thì đổi chiều bất phương trình. Chú ý: \({\log _a}x > {\log _a}y \Leftrightarrow x < y\) với \(0< a < 1\). Vậy ta không cần xét đến ý D khi đã có đáp án là C.
