Câu 51: Cho các mệnh đề sau: (I). Nếu \(a = \sqrt {bc} \)thì \(2\ln a = \ln b + \ln c\) (II). Cho số thực \(0 < a \ne 1\). Khi đó \(\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) (III). Cho các số thực \(0 < a \ne 1,b > 0,c > 0.\,\)Khi đó \({b^{{{\log }_a}c}} = {c^{{{\log }_a}b}}\) (IV). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = - \infty \) Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án + \(a = \sqrt {bc} \Rightarrow \ln a = \ln \sqrt {bc} \Leftrightarrow \ln a = \frac{1}{2}\ln bc \Leftrightarrow 2\ln a = \ln b + \ln c\) (với b, c > 0) Nếu b; c < 0 (b = -5; b = -10) mệnh đề sai. + \(0 < a \ne 1 \Rightarrow \left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) + \(0 < a \ne 1,b > 0,c > 0 \Rightarrow {b^{{{\log }_a}c}} = {c^{{{\log }_a}b}}\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 0\)
Câu 52: Cho số thực\(0 < a \ne 1\) và hai hàm số \(f\left( x \right) = {\log _a}x,g\left( x \right) = {a^x}\). Xét các mệnh đề sau: (I). Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng 1 điểm. (II). Hai hàm số đều đơn điệu trên tập xác định. (III). Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. (IV). Tập xác định của hai hàm số trên là \(\mathbb{R}\) Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi a > 1 và cắt nhau khi 0 < a < 1. Hai hàm số đều đơn điệu trên tập xác định. Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _a}x\) có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(g\left( x \right) = {a^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
Câu 53: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _\pi }x\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. \(f\left( \pi \right) + \cos \pi = 0\) B. Hàm số không có cực trị. C. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\pi \ln x}}\) D. Hàm số đồng biến trên\(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án + Hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right).\) + \(f\left( \pi \right) + \cos \pi = {\log _\pi }\pi + \cos \pi = 1 - 1 = 0.\) + \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln \pi }} > 0 \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) + Hàm số không có cực trị.
Câu 54: Cơ số x bằng bao nhiêu để \({\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1.\) A. \(x = 3\) B. \(x = \frac{1}{3}\) C. \(x = - 3\) D. \(x = - \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\{\log _x}3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\\frac{1}{x} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{3}.\)
Câu 55: Cho n là số nguyên dương. Tìm n sao cho: \({\log _a}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{a}}}2019 = {1008^2}{.2017^2}.{\log _a}2019.\) A. 2017. B. 2019. C. 2016. D. 2018. Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right)^2}\). Đặt \(x = {\log _a}2019\) \( \Rightarrow {\log _a}2019 + {2^3}{\log _a}2019 + {3^3}{\log _a}2019 + ... + {n^3}{\log _a}2019 = {1008^2}{.2017^2}{\log _a}2019\) \( \Leftrightarrow x\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}} \right) = {1008^2}{.2017^2}x\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right)^2} = {1008^2}{.2017^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{n + 1}}{2}n} \right)^2} = {1008^2}{.2017^2}\) \( \Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4}{\left( {n + 1} \right)^2} = \frac{{{{2016}^2}}}{4}{\left( {2016 + 1} \right)^2}\left( * \right)\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{4}{\left( {t + 1} \right)^2} \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{t}{2}{\left( {t + 1} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2}\left( {t + 1} \right) > 0,\forall t \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến với \(t \in {\mathbb{Z}^ + }\). Suy ra \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( n \right) = f\left( {2016} \right) \Rightarrow n = 2016\).
Câu 56: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình \({\log ^2}x + {\log _3}x.\log 27 - 4 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \log {x_1} + \log {x_2}.\) A. \(A = 3.\) B. \(A = - 3.\) C. \(A = - 2.\) D. \(A = 4.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log ^2}x + {\log _3}x.\log 27 - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log ^2}x + 3{\log _3}x.\log 3 - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {\log x} \right)^2} + 3\log x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}\log x = 1\\\log x = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log {x_1} = 1\\\log {x_2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow A = - 3\).
Câu 57: Với các số thực dương a, b bất kỳ, \(a \ne 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} - 2{\log _a}b.\) B. \({\log _a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 - \frac{1}{2}{\log _a}b.\) C. \({\log _a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}{\log _a}b.\) D. \({\log _a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 - 2{\log _a}b.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = {\log _a}\sqrt[3]{a} - {\log _a}{b^2} = \frac{1}{3} - 2{\log _a}b\).
Câu 58: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) \ge - 2.\) A. \(S = \left[ {5; + \infty } \right).\) B. \(S = \left( {1;5} \right].\) C. \(S = \left( { - \infty ;5} \right].\) D. \(S = \left[ {1;5} \right].\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) \ge - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow S = \left( {1;5} \right].\)
Câu 59: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = - {\log _{2017}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) A. \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) B. \(D = \left[ {1;2} \right].\) C. \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\) D. \(D = \left( {1;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 60: Cho \(a,b > 0\). Bất đẳng thức \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{b}{3}} \right) < 0\) đúng khi và chỉ khi: A. \(\left( {a - 2} \right)\left( {b - 3} \right) < 0\) B. \(\left( {a - 2} \right)\left( {b - 3} \right) > 0\) C. \(\left( {b - 3} \right)\left( {a - 2} \right) > 0\) D. \(\left( {b - 3} \right)\left( {a - 2} \right) < 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{2}{a}}}\left( {\frac{b}{3}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} < 1\\\frac{b}{3} > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} > 1\\\frac{b}{3} < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{a} - 1} \right)\left( {\frac{b}{3} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left( {b - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 3} \right) > 0\end{array}\)
