Câu 61: Hàm số \(y = \ln \left( {\sqrt {3x + 1} + x - 3} \right)\) có tập xác định là: A. \(\left[ {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( {1; + \infty } \right)\) C. \(\left( {1;2017} \right)\) D. \(\left( {1;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi: \(\sqrt {3x + 1} + x - 3 > 0 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} > 3 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 \ge 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\3x + 1 > {\left( {3 - x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} - 9x + 8 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\1 < x < 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\1 < x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow x > 1 \Rightarrow D = \left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 62: Cho các số dương a, b khác 1 sao cho \({\log _{16}}\sqrt[3]{a} = {\log _{{a^2}}}\sqrt[9]{b} = {\log _b}2\). Tính giá trị của \(\frac{b}{a}.\) A. 4 B. 16 C. 32 D. 8 Spoiler: Xem đáp án Đặt \({\log _{16}}\sqrt[3]{a} = {\log _{{a^2}}}\sqrt[9]{b} = {\log _b}2 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {16^{3t}}\\b = {\left( 2 \right)^{\frac{1}{t}}}\\{a^{18t}} = b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {a^{18t}} = b \Rightarrow {\left( {{{16}^{3t}}} \right)^{18t}} = {\left( 2 \right)^{\frac{1}{t}}} \Leftrightarrow {\left( 2 \right)^{216{t^2}}} = {\left( 2 \right)^{\frac{1}{t}}}\) \( \Rightarrow 216{t^2} = \frac{1}{t} \Rightarrow {t^3} = \frac{1}{{216}} \Rightarrow t = \frac{1}{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {16^{\frac{1}{2}}} = 4\\b = {\left( 2 \right)^6} = 64\end{array} \right. \Rightarrow \frac{b}{a} = 16\)
Câu 63: Cho \(0 < a,b,c \ne 1\). Công thức nào dưới đây sai? A. \({\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\) B. \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\) C. \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\) D. \({\log _b}c = {\log _a}b.{\log _c}a\) Spoiler: Xem đáp án Với \(0 < a,b,c \ne 1\) ta có: \({\log _c}b = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}} = {\log _a}b.{\log _c}a\) \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}} = {\log _b}c.{\log _a}b\) \({\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}} = {\log _a}c.{\log _b}a.\) Nên D là công thức sai.
Câu 64: Tập các giá trị của m để phương trình \(m\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - x = m\) có nghiệm thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: A. \(\left( {\ln 3; + \infty } \right)\) B. \(\left( {1;e} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình \(m\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - x = m \Leftrightarrow m\left[ {\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1} \right] = x \Leftrightarrow m = \frac{x}{{\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1}}\) \(\left( * \right)\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1}}\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), có \(f'\left( x \right) = \frac{{{3^x}.x.\ln 3 + \left( {1 - {3^x}} \right)\left[ {\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1} \right]}}{{{{\left[ {\ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1} \right]}^2}}}\) Với \(x < 0\), ta có \({3^x} < {3^0} = 1 \Leftrightarrow 1 - {3^x} > 0 \Rightarrow \ln \left( {1 - {3^x}} \right) - 1 < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0;\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\). Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\). Tính giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0\) Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm thì \(m > 0.\)
Câu 65: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right) < 1\) là: A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(\left( {\frac{1}{2};2} \right)\) C. \(\left( {\frac{{13}}{{14}};2} \right)\) D. \(\left( {\frac{{13}}{{14}}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right) < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} > 0\\{\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} > 0\\{\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} > \\\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} < 1\\\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} > \frac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} < 1\\\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} > \frac{4}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{x + 1}} < 0\\\frac{{14x - 13}}{{x + 1}} > 0\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{13}}{{14}}\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \frac{{13}}{{14}} < x < 2 \Leftrightarrow S = \left( {\frac{{13}}{{14}};2} \right).\)
Câu 66: Cho \(x > 1\) và các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn điều kiện \({\log _a}x > {\log _b}x > 0 > {\log _c}x\). Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a > b > c\) B. \(a > c > b\) C. \(b > c > a\) D. \(b > a > c\) Spoiler: Xem đáp án Với \(x > 1:\) \({\log _a}x > {\log _b}x > 0 \Rightarrow b > a > 1.\) Với \(x > 1:\) \({\log _c}x < 0 \Rightarrow c < 1.\) Vậy: \(b > a > c.\)
Câu 67: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\log _2}\frac{{{4^x} - 1}}{{{4^x} + 1}} = m\) có nghiệm. A. \(m < 0.\) B. \( - 1 < m < 1.\) C. \(m \le - 1.\) D. \( - 1 < m < 0.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {4^x} > 1,\) khi đó: \({\log _2}\frac{4^x - 1}{4^x + 1} = m \Leftrightarrow m = {\log _2}\frac{t - 1}{t + 1} \left( * \right)\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}\frac{{t - 1}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) khi đó ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{2}{{\left( {{t^2} - 1} \right)\ln 2}} > 0,\forall t > 0.\) Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right),\) tính các giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} f\left( t \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = 0.\) Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm khi \(m < 0.\)
Câu 68: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2 - {{\log }_3}x} }}\) là: A. \(\left( {1;9} \right).\) B. \(\left( {9; + \infty } \right).\) C. \(\left( {0;9} \right).\) D. \(\left( {0;9} \right].\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 9.\)
Câu 69: Biết rằng phương trình \(\log _3^2x = {\log _3}\frac{{{x^4}}}{3}\) có hai nghiệm a và b. Khi đó ab bằng: A. 9 B. 8 C. 64 D. 81 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x > 0.\) \(\log _3^2x = {\log _3}\frac{{{x^4}}}{3} \Leftrightarrow \log _3^2x = 4{\log _3}x - 1 \Leftrightarrow \log _3^2x - 4{\log _3}x + 1 = 0\) Theo Định lý Vi-ét: \({\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = 4 \Rightarrow {\log _3}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = 4 \Rightarrow {x_1}{x_2} = {3^4} = 81 \Rightarrow ab = 81.\)
Câu 70: Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)\) có đạo hàm là: A. \(f'\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\sqrt {{4^x} + 1} .\ln 2}}.\) B. \(f'\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\sqrt {{4^x} + 1} }}.\) C. \(f'\left( x \right) = \frac{{\ln 2}}{{\sqrt {{4^x} + 1} }}.\) D. \(f'\left( x \right) = \frac{{{2^x}\ln 2}}{{\sqrt {{4^x} + 1} }}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left[ {{{\log }_2}\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)}^\prime }}}{{\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right).\ln 2}}\\ = \frac{{{2^x}.\ln 2 + \frac{{{4^x}.\ln 4}}{{2\sqrt {{4^x} + 1} }}}}{{\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right).\ln 2}} = \frac{{{2^x} + \frac{{{4^x}}}{{\sqrt {{4^x} + 1} }}}}{{\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)}} = \frac{{{2^x}\left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{4^x} + 1} \left( {{2^x} + \sqrt {{4^x} + 1} } \right)}} = \frac{{{2^x}}}{{\sqrt {{4^x} + 1} }}.\end{array}\)
