Câu 71: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \({\log _a}b = 9,\,\,{\log _a}c = 10.\) Tính \(M = {\log _b}\left( {a\sqrt c } \right).\) A. \(M = \frac{2}{3}.\) B. \(M = \frac{7}{3}.\) C. \(M = \frac{5}{2}.\) D. \(M = \frac{3}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án \(M = {\log _b}\left( {a\sqrt c } \right) = {\log _b}a + \frac{1}{2}{\log _b}c = \frac{1}{9} + \frac{1}{2}{\log _b}a.{\log _a}c = \frac{1}{9} + \frac{1}{{2.9}}.10 = \frac{2}{3}.\)
Câu 72: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số \(y = \ln {\rm{x}}\) có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số \(y = {2^{ - x}}\) có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số \(y = \ln \left( { - x} \right)\) không có tiệm cận ngang. Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \ln {\rm{x}}\) có tiệm cận đứng là \({\rm{x}} = 0.\) Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) có tiệm cận ngang là \(y = 0.\) Đồ thị hàm số \(y = \ln \left( { - x} \right)\) có tiệm cận đứng \(x = 0\) và không có tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số \(y = {2^{ - x}}\) không có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang.
Câu 73: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 2} \right) + 2{\log _4}\left( {x + 26} \right) < 2{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{16}}\) là: A. \(\left( { - 2;6} \right).\) B. \(\left( {2;8} \right).\) C. \(\left( { - 34;6} \right).\) D. \(\left( { - 28;6} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 26 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 2.\) \({\log _2}\left( {x + 2} \right) + 2{\log _4}\left( {x + 26} \right) < 2{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{16}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left( {x + 26} \right) < {\log _2}256\) \( \Leftrightarrow {\log _2}[\left( {x + 2} \right)\left( {x + 26} \right)] < {\log _2}256 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 26} \right) < 256 \Leftrightarrow {x^2} + 28{\rm{x}} - 204 < 0 \Leftrightarrow - 34 < x < 6.\) Kết hợp với điều kiện \(x > - 2,\) ta được: \(S = \left( { - 2;6} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Câu 74: Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {x - 3} \right)\) là: A. \(y' = \frac{1}{{x - 3}}.\) B. \(y' = 1.\) C. \(y' = {e^{x - 3}}.\) D. \(y' = \frac{{ - 3}}{{x - 3}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \ln \left( {x - 3} \right) \Rightarrow y' = {\left[ {\ln \left( {x - 3} \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^\prime }}}{{x - 3}} = \frac{1}{{x - 3}}.\)
Câu 75: Cho \({\log _2}m = a\) và \(A = {\log _m}8m\,\,\left( {m > 0,m \ne 1} \right).\) Khi đó mối quan hệ giữa A và a là: A. \(A = \left( {3 - a} \right)a.\) B. \(A = \frac{{3 - a}}{a}.\) C. \(A = \frac{{3 + a}}{a}.\) D. \(A = \left( {3 + a} \right)a.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A = {\log _m}8 + {\log _m}m = 3{\log _m}2 + 1 = \frac{3}{a} + 1 \Leftrightarrow A = \frac{{3 + a}}{a}.\)
Câu 76: Cho các số thực a, b, c dương và khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x,\,\,y = {\log _b}x,\,\,y = {\log _c}x\) được cho trong hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(a < c < b.\) B. \(c < b < a.\) C. \(a < b < c.\) D. \(b < c < a.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào các đồ thị ta thấy: \(y = {\log _a}x\) là hàm số nghịch biến nên a<1. Các hàm số \(y = {\log _b}x\)và \(y = {\log _c}x\) là các hàm số đồng biến nên b,c>1. Mặt khác với x>1, thấy \({\log _b}x > {\log _c}x \Rightarrow b < c.\) Vậy: \(a < b < c.\)
Câu 77: Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {3;6} \right).\) A. \(1 < m \le \frac{7}{3}.\) B. \(\frac{{15}}{7} \le m \le \frac{7}{3}.\) C. \(1 < m \le \frac{{15}}{7}.\) D. \(1 < m < \frac{5}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án TH1: Với \(m = 1,\) phương trình đã cho trở thành: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 3 \notin \left( {3;6} \right).\) TH2: Với \(m \ne 1,\) ta đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2;0} \right).\) Khi đó phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {{t^2} - t + 1} \right) = {t^2} - 5t + 1 \Leftrightarrow m = f\left( 1 \right) = \frac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}} \left( * \right)\) Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right),\) ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{4\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}};\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1.\) Tính các giá trị \(f\left( { - 2} \right) = \frac{{15}}{7};\,\,f\left( { - 1} \right) = \frac{7}{3};\,\,f\left( 0 \right) = 1.\) Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm \(1 \le m \le \frac{7}{3}.\) Kết hợp cả hai trường hợp ta được \(1 < m \le \frac{7}{3}\) là giá trị cần tìm.
Câu 78: Cho \({\log _2}3 = a;\,\,{\log _5}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b. A. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.\) B. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}.\) C. \({\log _6}45 = \frac{{2{{\rm{a}}^2} - 2ab}}{{ab}}.\) D. \({\log _6}45 = \frac{{2{{\rm{a}}^2} - 2ab}}{{ab + b}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _6}45 = {\log _6}5 + 2{\log _6}3 = \frac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}2}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_3}2}}\) \( = \frac{1}{{{{\log }_5}3 + \frac{{{{\log }_5}3}}{{{{\log }_2}3}}}} + \frac{2}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}} = \frac{1}{{b + \frac{b}{a}}} + \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} = \frac{{a + 2{\rm{a}}b}}{{ab + b}}.\)
Câu 79: Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\left( {a\sqrt[5]{{{a^3}\sqrt {a\sqrt a } }}} \right)\) với \(a > 0,a \ne 1\) ta được kết quả nào sau đây? A. \(\frac{7}{4}.\) B. \(\frac{5}{3}.\) C. \(\frac{4}{3}.\) D. \(2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A = {\log _a}\left( {a\sqrt[5]{{{a^3}\sqrt {a\sqrt a } }}} \right) = {\log _a}\left( {a\sqrt[5]{{{a^3}\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} }}} \right) = {\log _a}\left( {a.\sqrt[5]{{{a^3}.{a^{\frac{3}{4}}}}}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{7}{4}}} = \frac{7}{4}.\)
Câu 80: Biết rằng \({\log _{42}}2 = 1 + m{\log _{42}}3 + n{\log _{42}}7\) với m, n là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(m.n = - 2\) B. \(m.n = 1\) C. \(m.n = - 1\) D. \(m.n = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _{42}}2 = {\log _{42}}\frac{{42}}{{21}} = 1 - {\log _{42}}\left( {3.7} \right) = 1 - {\log _{42}}3 - {\log _{42}}7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = - 1\end{array} \right. \Rightarrow m.n = 1.\)
