Câu 81: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}\left( {2 + {{2017}^x}} \right)\) được kết quả là: A. \(y' = \frac{1}{{\left( {2 + {{2017}^x}} \right)\ln 2017}}\) B. \(y' = \frac{{{{2017}^x}\ln 2017}}{{2 + {{2017}^x}}}\) C. \(y' = \frac{{{{2017}^x}}}{{2 + {{2017}^x}}}\) D. \(y' = \frac{{{{2017}^x}}}{{\left( {2 + {{2017}^x}} \right)\ln 2017}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2 + {{2017}^x}} \right)}^\prime }}}{{\left( {2 + {{2017}^x}} \right)\ln 2017}} = \frac{{{{2017}^x}.\ln 2017}}{{\left( {2 + {{2017}^x}} \right).\ln 2017}} = \frac{{{{2017}^x}}}{{2 + {{2017}^x}}}.\)
Câu 82: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2.\) A. \(x = 1\) B. \(x = 2\) C. \(x = 5\) D. \(x = 13\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow 2x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5.\)
Câu 83: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1.\) A. 2 B. -6 C. 12 D. 5 Spoiler: Xem đáp án \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3.2^x} - 1 > 0\\{3.2^x} - 1 = {4^{x + 1}}\end{array} \right. \Rightarrow {3.2^x} - 1 = {4^x} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}}{4} - {3.2^x} + 1 = 0\) Đặt: \(t = {2^x},t > 0.\) Phương trình trở thành: \(\frac{{{t^2}}}{4} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6 + 4\sqrt 2 \\t = 6 - 4\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 6 + 4\sqrt 2 \\{2^x} = 6 - 4\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\\x = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\\{x_2} = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left[ {\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)} \right] = {\log _2}4 = 2.\)
Câu 84: Cho các hàm số \(y = {\log _2}x,y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x},y = {\log _{\frac{1}{2}}}x,y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\). Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của hàm số đó? A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên tập xác định của nó do 2>1. Ta có: \(\frac{e}{\pi } < 1;\,\frac{1}{2} < 1;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên các hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x},y = {\log _{\frac{1}{2}}}x,y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) nghịch biến trên TXĐ của nó.
Câu 85: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\) B. \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\) C. \(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a\) D. \(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}\) Spoiler: Xem đáp án Với các số thực dương a, b bất kì ta luôn có: \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)
Câu 86: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{x}{{\sqrt {13} }}}}\left( {2x - 1} \right)} .\) A. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) B. \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\{\log _{\frac{\pi }{{\sqrt {13} }}}}\left( {2x - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x \le 1\end{array} \right. \Rightarrow D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\)
Câu 87: Xét các mệnh đề sau: \(\begin{array}{l}\left( I \right)\,\,{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6 \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 1} \right) + 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6\\\left( {II} \right)\,{\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 1 + {\log _2}\left| x \right|;\forall x \in \mathbb{R}\\\left( {III} \right)\,\,{x^{\ln y}} = {y^{\ln x}};\forall x > y > 2.\\\left( {IV} \right)\,{\log _2}^2\left( {2x} \right) - 4{\log _2}x - 4 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}^2x - 2{\log _2}x - 3 = 0\end{array}\) Số mệnh đề đúng là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau: \({\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6 \Leftrightarrow 2{\log _2}\left| {x - 1} \right| + 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6 \Rightarrow \left( I \right)\)sai. \({x^2} + 1 = {\left| x \right|^2} + 1 \ge 2\left| x \right| \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {2\left| x \right|} \right) = 1 + {\log _2}\left| x \right|\left( {x \ne 0} \right) \Rightarrow \left( {II} \right)\)sai. \({x^{\ln y}} = {y^{\ln x}}\,\,\,x > y > 2 \Rightarrow \left( {III} \right)\)đúng. \(\log _2^2\left( {2x} \right) - 4{\log _2}x - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 4{\log _2}x - 4 = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x - 3 = 0 \Rightarrow \left( {IV} \right)\)đúng.
Câu 88: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + 3b} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\)? A. \(\frac{{\sqrt {13} - 3}}{2}\) B. \(\frac{{\sqrt {13} + 3}}{2}\) C. \(\frac{2}{3}\,\) D. \(\frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + 3b} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\end{array} \right.\)và \(a + 3b = {16^t}\) Khi đó \({9^t} + {3.12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} + {3.3^t}{.4^t} - {\left( {{4^t}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{\sqrt {13} - 3}}{2}\) Mặt khác \(\frac{a}{b} = \frac{{{9^t}}}{{{{12}^t}}} = {\left( {\frac{9}{{12}}} \right)^t} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{\sqrt {13} - 3}}{2}.\)
Câu 89: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) > 0\)? A. \(x > 2\) B. \(1 \le x < 2\) C. \(x < 2\) D. \(1 < x < 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < x - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < x < 2.\)
Câu 90: Với các số thực a,b > 0 bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({\log _2}\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{3}{\log _2}a + \frac{1}{2}{\log _2}b\) B. \({\log _2}\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{3}{\log _2}a - \frac{1}{2}{\log _2}b\) C. \({\log _2}\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{3}{\log _2}a - 2{\log _2}b\) D. \({\log _2}\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{3}{\log _2}a + 2{\log _2}b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\log _2}\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}{a^{\frac{2}{3}}} - {\log _2}{b^2} = 1 + \frac{2}{3}{\log _2}a - 2{\log _2}b.\)
