Câu 101: Cho \(f\left( x \right) = {2.3^{{{\log }_{81}}x}} + 3\). Tính \(f'\left( 1 \right).\) A. \(f'\left( 1 \right) = 0\) B. \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) C. \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\) D. \(f'\left( 1 \right) = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f\left( x \right) = {2.3^{{{\log }_{{3^4}}}x}} + 3 = {2.3^{\frac{1}{4}{{\log }_3}x}} + 3 = 2{\left( {{3^{{{\log }_3}x}}} \right)^{\frac{1}{4}}} + 3 = 2{x^{\frac{1}{4}}} + 3\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2.\frac{1}{4}{x^{ - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{4}}} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}.\)
Câu 102: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm \({2^{{x^2}}} + \left| x \right| + {m^2} - 2m = 0.\) A. \(m = \frac{1}{2}\) B. \(m = 3\) C. \(m = 1\) D. \(m = \frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \left| x \right| \ge 0\) . Khi đó phương trình đã cho trở thành \({2^{{t^2}}} + t + {m^2} - 2m = 0\) Hay \({2^{{t^2}}} + t = - {m^2} + 2m\). Xét hàm số \(f(t) = {2^{{t^2}}} + t\) với \(t \ge 0\) \(f'(t) = 2t{.2^{{t^2}}}.\ln 2 + 1 > 0,\forall t.\) Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right).\) Bảng biến thiên: Để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - {m^2} + 2m \ge 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Câu 103: So sánh các số \({e^{\sqrt[4]{2}}}\) và \(\sqrt[4]{2} + 1.\) A. \(2{e^{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[4]{2} + 1\) B. \({e^{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[4]{2} + 1 C. \({e^{\sqrt[4]{2}}} > \sqrt[4]{2} + 1\) D. \({e^{\sqrt[4]{2}}} < \sqrt[4]{2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi. Cách 2: Giải theo kiểu bài tập tự luận: Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - x - 1\) với \(x > 0\), ta có \(f'\left( x \right) = {e^x} - 1 > 0;\forall x > 0\) Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {e^x} > x + 1\) Với \(x = \sqrt[4]{2}\) suy ra \({e^{\sqrt[4]{2}}} > \sqrt[4]{2} + 1.\)
Câu 104: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = m\) có nghiệm duy nhất. A. \(m = 2\) B. \(m = 1\) C. \(m = 4\) D. \(m = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x},t > 0\) Khi đó phương trình trở thành: \(t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow {t^2} - mt + 1 = 0\left( * \right)\) PT ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (*) có một nghiệm duy nhất \(t > 0\) Hay: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \left( * \right) = 0}\\{t = \frac{m}{2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 4 = 0}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = 2.\)
Câu 105: Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm là 3.000.000/ tháng. Cứ 3 năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm 7%/1 tháng. Hỏi sau 36 năm làm việc, anh Hưng nhận được tất cả bao nhêu tiền? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng). A. 1.287.968.000 đồng B. 1.931.953.000 đồng C. 2.575.937.000 đồng D. 3.219.921.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Số tiền anh Hưng sẽ nhận được là: \(S = 3.3.{\left( {1,07} \right)^0} + 3.36.{\left( {1,07} \right)^1} + 3.36.{\left( {1,07} \right)^2} + ... + 3.36.{\left( {1,07} \right)^{11}}\) \( \Rightarrow S = 3.36.\frac{{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{12}}}}{{}}1 - 1,07 \approx 1.931,953\) triệu đồng = 1.931.953.000 đồng.
Câu 106: Tính tổng hợp tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\left( {{4^x} - 8} \right)^3} + {\left( {{2^x} - 64} \right)^3} = {\left( {{4^x} + {2^x} - 72} \right)^3}.\) A. 4 B. \(\frac{9}{2}\) C. \(\frac{{21}}{2}\) D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = {4^x} - 8\\v = {2^x} - 64\end{array} \right.\) Khi đó bất phương trình trở thành: \({u^3} + {v^3} = {\left( {u + v} \right)^3} \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right) \Leftrightarrow uv\left( {u + v} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\v = 0\\u + v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^x} - 8 = 0\\{2^x} - 64 = 0\\{4^x} + {2^x} - 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^x} = 8\\{2^x} = 64\\{2^x} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = 6\\x = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{3}{2}\\{x_2} = 6\\{x_3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{21}}{2}\end{array}\)
Câu 107: Tìm số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - x + 5}} = 1.\) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Spoiler: Xem đáp án \({2^{2{x^2} - x + 5}} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{8} = 0.\)
Câu 108: Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = {2017^x}\). Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Trục Ox là tiệm cận ngang của (C) B. Đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành C. Đồ thị (C) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) D. Đồ thị (C) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2017^x} = 0 \Rightarrow Ox\) là tiệm cận ngang của (C). \(y = {2017^x} > 0,\forall x \in R \Rightarrow \) Đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành. \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị (C) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\).
Câu 109: Tính đến 31/12/2015 diện tích rừng trồng ở nước ta là 3.886.337 . ha Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng trồng của nước ta tăng 6,1% diện tích hiện có. Hỏi sau ba năm diện tích trồng rừng ở nước ta là bao nhiêu? A. \(4.123.404\,\,ha.\) B. \(4.641.802\,\,ha.\) C. \(4.834.603\,\,ha.\) D. \(4.600.000\,\,ha.\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích rừng sau 3 năm sẽ bằng \(3.886.337.{\left( {1,061} \right)^3} \approx 4.641.802\,\,ha.\)
Câu 110: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({5^{{x^2} - 5{\rm{x}} + 9}} = 125.\) A. \(S = \left\{ {2;3} \right\}.\) B. \(S = \left\{ 2 \right\}.\) C. \(S = \left\{ {4;6} \right\}.\) D. \(S = \left\{ {1;6} \right\}.\) Spoiler: Xem đáp án \({5^{{x^2} - 5{\rm{x}} + 9}} = 125 \Leftrightarrow {5^{{x^2} - 5{\rm{x}} + 9}} = {5^3} \Leftrightarrow {x^2} - 5{\rm{x}} + 9 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 5{\rm{x}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {2;3} \right\}.\)
