Câu 121: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6 = m\) có đúng 3 nghiệm. A. \(2 < m < 3.\) B. \(m > 3.\) C. \(m = 3.\) D. \(m = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^{{x^2}}},t \in \left[ {1; + \infty } \right) \Rightarrow PT \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 6 = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 6 - m = 0\,\,\left( * \right)\) PT ban đầu có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} > 1\end{array} \right..\) Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) = 0\\{t_1} + {t_2} > 2\\{t_1}{t_2} > 1\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 6 + m > 0\\1 - 6 + m - 6 = 0\\4 > 2\\6 - m > 1\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m = 3\\m < 5\\6 - m - 4 + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3.\)
Câu 122: Bạn Nam là sinh viên của một trường đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi để trang trải học tập hằng năm. Đầu mỗi năm học, Nam vay ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất mỗi năm là 4%. Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó ngân hàng không thay đổi lãi suất (kết quả làm tròn đến nghìn đồng). A. 46.794.000 đồng. B. 44.163.000 đồng. C. 42.465.000 đồng. D. 41.600.000 đồng. Spoiler: Xem đáp án Số tiền Nam phải trả bằng \(10.{\left( {1,04} \right)^4} + 10.{\left( {1,04} \right)^3} + 10.{\left( {1,04} \right)^2} + 10.1,04 \approx 44,163\) triệu đồng.
Câu 123: Cho hàm số \(y = {a^{{x^2}}}\) với \(a > 1.\) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận. B. Hàm số có một điểm cực tiểu. C. Hàm số có một điểm cực đại. D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}.\) \(y' = \left( {{a^{{x^2}}}} \right)' = 2{\rm{x}}.{a^{{x^2}}}.\ln a \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \) Hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {a^{{x^2}}} = + \infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận. \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\\y'' = 2\ln a.\left( {{a^{{x^2}}} + 2{{\rm{x}}^2}{a^{{x^2}}}.\ln a} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số có một điểm cực tiểu.
Câu 124: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(\sqrt {{3^x} + 3} + \sqrt {5 - {3^x}} \le m\) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}5} \right].\) A. \(m \ge 2\sqrt 2 \) B. \(m \ge 4\) C. \(m \le 4\) D. \(m \le 2\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {3^x},t \in \left( {0;5} \right]\) Khi đó BPT trở thành: \(f\left( t \right) = \sqrt {t + 3} + \sqrt {5 - t} \le m \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;5} \right]} f\left( t \right)\) Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {5 - t} }} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {5 - t} }} = 0 \Leftrightarrow t = 1\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên hàm số ta thấy \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;5} \right]} f\left( t \right) \Rightarrow m \ge 4\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 125: Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9%/tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6%/tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác An rút được số tiền là bao nhiêu? (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra). A. 5436521,164 đồng B. 5436566,169 đồng C. 5452733,453 đồng D. 5452771,729 đồng Spoiler: Xem đáp án Số tiền bác An thu được bằng \(5{\left( {1 + 0,007} \right)^6}{\left( {1 + 0,009} \right)^3}{\left( {1 + 0,006} \right)^3} = 5,452733453\) triệu đồng.
Câu 126: Cho \({\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta }\). Kết luận nào sau đây là đúng? A. \(\alpha + \beta = 0\) B. \(\alpha .\beta = 1\) C. \(\alpha < \beta \) D. \(\alpha > \beta \) Spoiler: Xem đáp án Do \(\pi > 1\) nên \({\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta .\)
Câu 127: Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {4{x^2} - 1} \right)^{ - 4}}.\) A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}\) B. \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) C. \(\mathbb{R}\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do -4 là số nguyên âm nên hàm số xác định khi: \(4{x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \frac{1}{2}.\) Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}.\)
Câu 128: Phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x}\) có hai nghiệm \({x_1},x{ _2}\). Tính \(A = x_1^2 + x_2^2.\) A. 9 B. 13 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3\) Đặt \(t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0 \Rightarrow \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{1}{t} \Rightarrow PT \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\\{t = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\\{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^{ - 1}}}\\{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - 1}\\{{x_2} = 1}\end{array} \Rightarrow A = 2} \right.\)
Câu 129: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right)\) với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_0}\) là dung lượng nạp tối đa (đầy pin). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được 90% dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). A. \(t \approx 1,65\) giờ B. \(t \approx 1,61\) giờ C. \(t \approx 1,63\) giờ D. \(t \approx 1,50\) giờ Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(Q\left( t \right) = \frac{9}{{10}}{Q_0}\) suy ra:\(\frac{9}{{10}}.{Q_0} = {Q_0}\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) \Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = \frac{9}{{10}} \Leftrightarrow t \approx 1,63.\)
Câu 130: Hàm số nào sau đây không có tập xác định là khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)? A. \(y = {x^{\sqrt 3 }}\) B. \(y = {x^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) C. \(y = {x^{\frac{3}{2}}}\) D. \(y = {x^{ - 5}}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {x^{ - 5}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
