Câu 131: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0.\) A. \(T = 2\) B. \(T = 3\) C. \(T = \frac{{13}}{4}\) D. \(T = \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 9{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0\) Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x},\) phương trình trở thành: \(9{t^2} - 13t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{4}{9}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = 1}\\{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = \frac{4}{9}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\)
Câu 132: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}},\) trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng \(\left( {r > 0} \right),\)t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ là 300 con. Hỏi sau 15 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn. A. 900 con B. 2700 con. C. 600 con. D. 1800 con. Spoiler: Xem đáp án Sau 5 giờ có 300 con, suy ra \(300 = 100.{e^{5{\rm{r}}}} \Rightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}.\) Vậy số vi khuẩn sau 15 giờ sẽ bằng: \(S\left( {15} \right) = 100.{e^{15.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 2700\,\,con.\)
Câu 133: Tổng của mọi số thực x sao cho \({\left( {{2^x} - 4} \right)^3} + {\left( {{4^x} - 2} \right)^3} = {\left( {{4^x} + {2^x} - 6} \right)^3}\) là: A. \(\frac{5}{2}.\) B. \(\frac{7}{4}.\) C. \(\frac{7}{2}.\) D. \(\frac{3}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^x} - 4\\v = {4^x} - 2\end{array} \right. \Rightarrow PT \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} = {\left( {u + v} \right)^3} \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right) \Leftrightarrow uv\left( {u + v} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\v = 0\\u + v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 4 = 0\\{4^x} - 2 = 0\\{4^x} + {2^x} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = \frac{1}{2}\\{x_3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{7}{2}.\)
Câu 134: Nếu \(\frac{{{4^x}}}{{{2^{x + y}}}} = 8,\,\,\frac{{{9^{x + y}}}}{{{3^{5y}}}} = 243;\,\,x,y\) là các số thực thì xy bằng: A. 6. B. \(\frac{{12}}{5}.\) C. 12 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{4^x}}}{{{2^{x + y}}}} = 8 \Leftrightarrow {4^x} = {8.2^x}{.2^y} \Leftrightarrow {2^{x - y}} = 8 \Leftrightarrow x - y = 3\\\frac{{{9^{x + y}}}}{{{3^{5y}}}} = 243 \Leftrightarrow {9^{x + y}} = {3^{5y}}.243 \Leftrightarrow {3^{2{\rm{x}} - 3y}} = 243 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} - 3y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow xy = 4.\)
Câu 135: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{3 + {9^x}}}\), \(\,x \in \mathbb{R}.\) Tính \(S = f\left( a \right) + f\left( {b - 2} \right)\) biết \(a + b = 3.\) A. \(S = 1\). B. \(S = 2\). C. \(S = \frac{1}{4}\). D. \(S = \frac{3}{4}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: b - 2 = 1 - a Do đó: \(f(a) = {9^a \over 3+9^a}; f(b-2)=f(1-a)= {9^{1-a} \over 3+9^a} = {3 \over 3+9^a}\) Suy ra: \(f(a)+f(b-2)= {9^a \over 3+9^a}+{3 \over 3+9^a}=1\)
Câu 136: Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất \(1\% \) một tháng. Biết rằng cứ sau mỗi quý (3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 Spoiler: Xem đáp án Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau N năm là \(T = a{(1 + 0,03)^{\frac{N}{4}}}\) \(\frac{T}{a} = 3 \Leftrightarrow {(1 + 0,03)^{4N}} = 3 \Leftrightarrow 4N.\ln 1,03 = \ln 3 \Rightarrow N = \frac{{\ln 3}}{{4\ln 1,03}} \approx 9,29.\)
Câu 137: Với giá trị nào của \(m\) bất phương trình \({9^x} - 2\left( {m + 1} \right){.3^x} - 3 - 2m > 0\) có nghiệm đúng với mọi số thực \(x\)? A. \(m \ne 2\). B. \(m \in \emptyset \). C. \(m \le - \frac{3}{2}\). D. \(m \in \left( { - 5 - 2\sqrt 3 ; - 5 + 2\sqrt 3 } \right)\). Spoiler: Xem đáp án \({9^x} - 2\left( {m + 1} \right){.3^x} - 3 - 2m > 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Đặt \({3^x} = t\), \(\left( {t > 0} \right)\) ta được bất phương trình: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 3 - 2m > 0\,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow t > 2m + 3\) (vì \(t > 0\)). Để BPT \(\left( 1 \right)\) đúng với mọi \(x\) thì BPT \(\left( 2 \right)\) đúng với mọi \(t > 0\). Vậy \(2m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{3}{2}\).
Câu 138: Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \({2^{2x - 3}} - {3.2^{x + 2}} + 1 = 0.\) A. \(S = 6\). B. \(S = 3\). C. \(S = 5\). D. \(S = - 4\). Spoiler: Xem đáp án \({2^{2x - 3}} - {3.2^{x + 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}{\left( {{2^x}} \right)^2} - \frac{3}{4}{2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {6.2^x} + 8 = 0\) Đặt \(t = {2^x},t > 0.\) Phương trình trở thành: \(2{t^2} - 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right..\) Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.
Câu 139: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({4^{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} - {14.2^{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} + 8 = m\) có nghiệm. A. \(m \le - 32\). B. \( - 41 \le m \le 32\). C. \(m \ge - 41\). D. \( - 41 \le m \le - 32\). Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \). Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\): Từ đó suy ra \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\). Khi đó ta có phương trình: \({4^t} - {14.2^t} + 8 = m\) . Đặt \(a = {2^t}\), do \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) nên \(a \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\). Ta có phương trình \({a^2} - 14a + 8 = m\). Xét hàm số \(g\left( a \right) = {a^2} - 14a + 8;g'\left( a \right) = 2a - 14;g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 7\). Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( a \right)\) trên \(\left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\). Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì \( - 41 \le m \le - 32\).
Câu 140: Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({4^{x + 1}} = 8\). A. \(S = \left\{ 1 \right\}\). B. \(S = \left\{ 0 \right\}\). C. \(S = \left\{ 2 \right\}\). D. \(S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\). Spoiler: Xem đáp án \({4^{x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{2\left( {x + 1} \right)}} = {2^3} \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
