Câu 141: Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\). B. \(P = \sqrt[3]{{ab}}\). C. \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\). D. \(P = - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\). Spoiler: Xem đáp án \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} - \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\).
Câu 142: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {x^{2017}}\). A. \(D = \left( { - \infty ;\,0} \right)\). B. \(D = \left( {0;\,\infty } \right)\). C. \(D = \mathbb{R}\). D. \(D = \left[ {0;\, + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án Do 2017 là số nguyên dương nên hàm số \(y = {x^{2017}}\)có tập xác định là \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) hay \(D = \mathbb{R}.\)
Câu 143: Tất cả các giá trị của m để phương trình \({e^x} = m\left( {x + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất là: A. \(m > 1\) B. \(m < 0,m \ge 1\) C. \(m < 0,m = 1\) D. \(m < 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(m = \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\). Xét hàm số \(f\left( x \right)\) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} .\) \(f'\left( x \right) = \frac{{x{e^x}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất khim=1 hoặc m<0.
Câu 144: Cho biểu thức \(P = \sqrt {{x^4}\sqrt[3]{x}} \) với x là số dương khác 1. Khẳng định nào sau đây sai? A. \(P = x\sqrt {{x^2}\sqrt[3]{x}} \) B. \(P = {x^2}.\sqrt[3]{x}\) C. \(P = {x^{\frac{{13}}{6}}}\) D. \(P = \sqrt[6]{{{x^{13}}}}\) Spoiler: Xem đáp án Với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(P = \sqrt {{x^4}.{x^{\frac{1}{3}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{3}}}} = {\left( {{x^{\frac{{13}}{3}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{13}}{6}}} = {x^2}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^2}\sqrt[6]{x}.\)
Câu 145: Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {1 - 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\mathbb{R}\) D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\frac{1}{3}\) là số không nguyên nên hàm số xác định khi \(1 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right).\)
Câu 146: Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{e^x} + 1} \right)\) là A. \(y' = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\ln 2}}\) B. \(y' = \frac{{{2^x}}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)\ln 2}}\) C. \(y' = \frac{{{2^x}\ln 2}}{{{2^x} + 1}}\) D. \(y' = \frac{{{e^x}\ln 2}}{{{e^x} + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)'}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\ln 2}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\ln 2}}.\)
Câu 147: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right)\) là một trong bốn hàm số được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm \(f\left( x \right)\). A. \(f\left( x \right) = {e^x}\) B. \(f\left( x \right) = {x^{\frac{e}{\pi }}}\) C. \(f\left( x \right) = \ln x\) D. \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy đồ thị hàm số đồng biến nên loại D. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại \(M\left( {0;m} \right)\)với \(m > 0\) nên ta loại B và C vì cả hai hàm số này đều có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right).\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 148: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng. A. 22 B. 23 C. 24 D. 21 Spoiler: Xem đáp án Gọi \({N_n}\) là số tiền người vay còn nợ sau n tháng, r là lãi suất hàng tháng, a là số tiền trả hàng tháng, A là số tiền vay ban đầu. \(\begin{array}{l}{N_1} = A(1 + r) - a\\{N_2} = \left[ {A(1 + r) - a} \right](1 + r) - a = A{(1 + r)^2} + a\left[ {1 + (1 + r)} \right]\\{N_3} = \left\{ {A{{(1 + r)}^2} + a\left[ {1 + (1 + r)} \right]} \right\}\left( {1 + r} \right) - a = A{(1 + r)^3} - a{\rm{[}}1 + (1 + r) + {(1 + r)^2}{\rm{]}}\\...........\\{{\rm{N}}_3} = A{(1 + r)^m} - a\left[ {1 + \left( {1 + r} \right) + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + ... + {{(1 + r)}^{m - 1}}} \right]\\ = A{(1 + r)^m} - a\frac{{{{(1 + r)}^m} - 1}}{r}\end{array}\) Khi trả hết nợ nghĩa là: \({N_m} = 0 \Leftrightarrow {(1 + r)^m}(Ar - a) + a = 0 \Leftrightarrow m = lo{g_{1 + r}}\frac{a}{{a - Ar}}\) Thay số ta được \(m \approx 21,6.\) Do đó số tháng trả hết nợ là 22.
Câu 149: Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi \(_{}^{226}Ra\)là 1602 năm (tức là một lượng \(_{}^{226}Ra\) sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\) trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm \(\left( {r < 0} \right),\) t là thời gian phân hủy, s là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam \(_{}^{226}Ra\)sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)? A. 0,886 gam. B. 1,023 gam. C. 0,795 gam. D. 0,923 gam. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{A}{2} = A.{e^{1602{\rm{r}}}} \Leftrightarrow r = - \frac{{\ln 2}}{{1602}}.\,\) \(A = 5,t = 4000,r = - \frac{{\ln 2}}{{1602}} \Rightarrow S = A.{e^{rt}} \approx 0,886\,\,g.\)
Câu 150: Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;\,\,y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\,\,y = \log {\rm{x}};\,\,y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\) Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x},y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) có hệ số \(\frac{e}{\pi },\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1 \Rightarrow \) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
