Câu 181: Cho hàm số \(y = \frac{1}{{{4^x}}}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 0} \right).\) C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { 0; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(y = \frac{1}{{{4^x}}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\). Có \(a = \frac{1}{4} < 1\). Nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) Vậy mệnh đề sai là A.
Câu 182: Áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) tại độ cao $x$ (đo bằng mét) so với mực nước biển được tính theo công thức $P = 760{e^{xl}}$, trong đó $760$ mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển, $l$ là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao $1000$ mét thì áp suất không khí là $672,71$ mmHg. Hỏi áp suất ở đỉnh Fanxipan cao $3143$ mét là bao nhiêu? A. 22,24 mmHg. B. 519,58 mmHg. C. 517,94 mmHg. D. 530,23 mmHg. Spoiler: Xem đáp án Ở độ cao 1000 mét áp suất không khí là 672,71 mmHg Nên: \(672,71 = 760{e^{1000l}}\) \(\Leftrightarrow {e^{1000l}} = \frac{{672,71}}{{760}}\) \(\Leftrightarrow l = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\) Áp suất ở đỉnh Fanxipan \(P = 760{e^{3143l}} = 760{e^{3143.\frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}}} \approx 717,94.\)
Câu 183: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S(t) = A{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S(t) là số lượng vi khuẩn có sau t (phút), r là tỷ lệ tăng trưởng (r>0), t ( tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con? A. 35 (giờ). B. 45 (giờ). . C. 25 (giờ). D. 15 (giờ). Spoiler: Xem đáp án Ta có A=1500, 5 giờ = 300 phút. Sau 5 giờ, số vi khuẩn là \(S\left( {300} \right) = 500 \cdot {e^{300r}} = 1500 \Rightarrow r = \frac{{\ln 300}}{3}\) Gọi to ( phút) là khoảng thời gian, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con. Ta có \(121500 = 500 \cdot {e^{r{t_0}}}\) \(\Rightarrow {t_0} = \frac{{\ln 243}}{r} = \frac{{300\ln 243}}{{\ln 3}} = 1500\)(phút) =25 (giờ).
Câu 184: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({4^x} + \left( {1 - 3m} \right){2^x} + 2{m^2} - m = 0\) có nghiệm. A. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) B. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left( {0; + \infty } \right).\) D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \({4^x} + \left( {1 - 3m} \right){2^x} + 2{m^2} - m = 0\left( 1 \right)\) Đặt \(t = {2^x},\,t > 0.\) Phương trình (1) trở thành \({t^2} + \left( {1 - 3m} \right)t + 2{m^2} - m = 0\left( 2 \right)\) \(\begin{array}{l} \Delta = {(1 - 3m)^2} - 4(2{m^2} - m)\\ = 1 - 6m + 9{m^2} - 8{m^2} + 4m\\ = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}. \end{array}\) Suy ra phương trình (2) luôn có 2 nghiệm \(x = m;\,x = 2m - 1,\forall m.\) Phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t>0. Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l} m > 0\\ 2m - 1 > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( {0; + \infty } \right).\)
Câu 185: Ông A gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng là 27 507 768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền Ông A gửi lần lượt ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu? A. 140 triệu và 180 triệu. B. 120 triệu và 200 triệu. C. 200 triệu và 120 triệu. D. 180 triệu và 140 triệu. Spoiler: Xem đáp án Gọi số tiền ông A gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là x,y (triệu) Theo giả thiết \(x + y = {320.10^6}\) (1) Ở ngân hàng X lãi suất 2,1% một quý, tức là 0,7% một tháng Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng X sau 15 tháng là: \(A = x{\left( {1 + 0,007} \right)^{15}} = x{\left( {1,007} \right)^{15}}\) Suy ra số lãi sau 15 tháng là \({r_A} = x{\left( {1,007} \right)^{15}} - x = x\left[ {{{\left( {1,007} \right)}^{15}} - 1} \right]\) Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được ở ngân hàng Y sau 9 tháng là: \(B = y{\left( {1 + 0,0073} \right)^9} = y{\left( {1,0073} \right)^9}\) Suy ra số lãi sau 9 tháng là \({r_B} = y{\left( {1,0073} \right)^9} - y = y\left[ {{{\left( {1,0073} \right)}^9} - 1} \right]\) Theo giả thiết \(x\left[ {{{\left( {1,007} \right)}^{15}} - 1} \right] + y\left[ {{{\left( {1,0073} \right)}^9} - 1} \right] = 27{\rm{ }}507{\rm{ }}768,13\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} x \simeq 140\\ y \simeq 180 \end{array} \right..\)
Câu 186: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}.\) Tính giá trị biểu thức \(A = f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{100}}{{100}}} \right).\) A. A=50. B. A=49. C. \(A = \frac{{149}}{3}.\) D. \(A = \frac{{301}}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}}\\ = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{{\frac{4}{{{4^x}}}}}{{\frac{4}{{{4^x}}} + 2}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{2}{{{4^x} + 2}} = 1. \end{array}\) Do đó: \(A = f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{100}}{{100}}} \right)\) \(= f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{99}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right) + ...\) \(+ f\left( {\frac{{49}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{51}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{50}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{100}}{{100}}} \right)\)\(= 49 + f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 1 \right) = \frac{{301}}{6}.\)
Câu 187: Tìm tổng các nghiệm của phương trình \({2^{2x + 1}} - {5.2^x} + 2 = 0.\) A. 0. B. \(\frac{5}{2}.\) C. 1. D. 2. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x},t > 0.\) Phương trình trở thành: \(2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = \frac{1}{2}} \end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 2}\\ {{2^x} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 1} \end{array} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 0} \right.} \right..\)
Câu 188: Rút gọn của biểu thức \(P = \frac{{\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } }}{{{x^{\frac{{11}}{{16}}}}}}\left( {x > 0} \right).\) A. \(P = \sqrt[{16}]{x}.\) B. \(P = \sqrt[{8}]{x}.\) C. \(P =x^\frac{7}{16}.\) D. \(P = \sqrt[{4}]{x}.\) Spoiler: Xem đáp án \(P = \frac{{\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } }}{{{x^{\frac{{11}}{6}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}}}}}{{{x^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{x^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {x^{\frac{4}{{16}}}} = {x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{x}.\)
Câu 189: Cho \({\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1<a<2. B. a<2. C. a>2. D. 0<a<1. Spoiler: Xem đáp án Vì \(- \frac{2}{3} < - \frac{1}{3}\) nên từ \({\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) ta suy ra \(a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2\).
Câu 190: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}.\) A. \(D = \left[ {1; + \infty } \right){\rm{.}}\) B. \(D = \left ( {1; + \infty } \right){\rm{.}}\) C. \(D = \left( { - \infty ;1} \right).\) D. \(D = \mathbb{R}.\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\alpha = \frac{1}{3}\) là số không nguyên nên cơ số \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). Vậy tập xác định là \(D = \left( {1, + \infty } \right)\).
