Câu 11: Giải phương trình \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1.\) A. \(x = - 2;y = 3.\) B. \(x = 3;x = \frac{1}{2}.\) C. \(x = 2;x = \frac{1}{3}.\) D. \(x = 2;y = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\) Hoặc thay lần lượt \(x = 2;x = 3;x = - 2;x = \frac{1}{2};x = \frac{1}{3}\) vào phương trình ta được nghiệm là x=2; x=3.
Câu 12: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm \({4^x} - 2{\left( {\sqrt {12} } \right)^x} - m{.3^x} = 0.\) A. \(m \ge 0\) B. \(0 \le m < 1\) C. \(m \ge - 1\) D. \(m < - 1\) Spoiler: Xem đáp án PT \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} } \right)^x} - 2 - m.{\left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^x} = 0\) Đặt \(t = {\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} } \right)^x},\) Phương trình trở thành: \(t - \frac{m}{t} - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} - 2t - m = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t = m\left( * \right)\) PT ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có ít nhất một nghiệm dương PT (*) là PT có hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t\) và đường thẳng \(y = m\) như hình bên PT (*) có ít nhất 1 nghiệm dương khi và chỉ khi \(m \ge - 1.\)
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {x + 2} }} > {3^{ - x}}\) là: A. \(\left( {0;2} \right)\) B. \(\left( {2; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 2; - 1} \right)\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {x + 2} }} > {3^{ - x}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{\sqrt {x + 2} }} > {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{\sqrt {x + 2} < x}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x + 2 < {x^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x > 2 \Rightarrow S = \left( {2; + \infty } \right)} \right..\end{array}\)
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình \(\frac{a}{{{3^x} + {3^{ - x}}}} = {3^x} - {3^{ - x}}\) có nghiệm duy nhất. A. \(a > 0\) B. \(0 < a < 1\) C. \(a < 0\) D. \(a \in \mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án PT\( \Leftrightarrow a = \left( {{3^x} - {3^{ - x}}} \right)\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right) \Leftrightarrow a = {9^x} - {9^{ - x}}\) Đặt \(t = {9^x},t > 0\) ta có: \(a = t - \frac{1}{t} \Leftrightarrow {t^2} - at - 1 = 0\left( * \right)\) PT ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (*) có 1 nghiệm dương. Lại thấy \({t_1}.{t_2} = - 1 < 0 \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu, suy ra (*) luôn có 1 nghiệm dương Suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với \(\forall a \in \mathbb{R}.\)
Câu 15: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu là 8%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau mỗi năm lãi suất sẽ tăng thêm 0,1% so với năm trước đó. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)? A. 136427160 đồng. B. 136806007 đồng C. 126321336 đồng. D. 136048896 đồng. Spoiler: Xem đáp án Số tiền ông An thu được là \(T = A\left( {1 + {r_1}} \right)\left( {1 + {r_2}} \right)\left( {1 + {r_3}} \right)\left( {1 + {r_4}} \right).\) Suy ra \(T = 100\left( {1 + 0,08} \right).\left( {1 + 0,081} \right)\left( {1 + 0,082} \right)\left( {1 + 0,083} \right) = 136806007\) (đồng).
Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _2^2x + 2{\log _2}x - m = 0\) có nghiệm thỏa \(x > 2.\) A. \(m < - 1.\) B. \(m > 3.\) C. \( - 1 < m < 3.\) D. \(m = 3;m = - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {\log _2}x\,\,\left( {x > 2} \right) \Rightarrow t > 1.\) Khi đó \(\log _2^2x + 2{\log _2}x - m = 0\) trở thành: \({t^2} + 2t = m.\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + 2t\,\,\left( {t > 1} \right).\) Ta có: \(f'(t) = 2t + 2;\,\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\,(loai).\) Ta có: \(f\left( t \right) \in \left( {3; + \infty } \right)\) suy ra PT đã cho có nghiệm khi \(m > 3.\)
Câu 17: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}\) A. \(S(1;2)\) B. \(S = {\rm{[}}1;2)\) C. \(S = {\rm{[}}1;2]\) D. \(S = (2; + \infty )\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 3x > 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1;2} \right).\end{array}\)
Câu 18: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({3^{1 - x}} - {3^x} + 2 \le 0.\) A. \(S = \left( {1; + \infty } \right).\) B. \(S = \left[ {1; + \infty } \right).\) C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right].\) D. \(S = \left( { - \infty ;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \({3^{1 - x}} - {3^x} + 2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} - {3^x} + 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - 2.\left( {{3^x}} \right) - 3 \ge 0\) Đặt \(t = {3^x},\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} \ge 3\\{3^x} \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {3^x} \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow S = \left[ {1; + \infty } \right).\)
Câu 19: Cho a, b là các số thực dương khác khác 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. \({a^{\frac{1}{{{{\log }_b}{a^2}}}}} = {b^2}\) B. \({a^{\frac{1}{{{{\log }_b}{a^2}}}}} = a\sqrt b \) C. \({a^{\frac{1}{{{{\log }_b}{a^2}}}}} = b\sqrt a \) D. \({a^{\frac{1}{{{{\log }_b}{a^2}}}}} = \sqrt b \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({a^{\frac{1}{{{{\log }_b}{a^2}}}}} = {a^{\frac{1}{2}.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}}} = {a^{{{\log }_a}\sqrt b }} = \sqrt b .\)
Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {3^x}.\) A. \(y' = {3^x}.\) B. \(y' = x{.3^{x - 1}}.\) C. \(y' = {3^x}ln3.\) D. \(y' = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {3^x}ln3.\)
