Câu 191: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng hai nghiệm phân biệt. A. \(m < \frac{1}{{16}}\). B. \(0 \le m < \frac{1}{{16}}\). C. \(- \frac{1}{2} < m \le \frac{1}{{16}}\). D. \(\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < m \le 0\\ m = \frac{1}{{16}} \end{array} \right.\). Spoiler: Xem đáp án \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{2}\) Đặt: \(t = {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} \in \left( {0;1} \right]\) Khi đó BPT trở thành: \(2{t^2} - t + 2m = 0 \Leftrightarrow 2m = t - 2{t^2} = g\left( t \right)\) (1). Ta có \(g'\left( t \right) = 1 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\). Bảng biến thiên: PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt khi (1) có đúng 1 nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right)\) Điều này xảy ra khi: \(\left[ \begin{array}{l} 2m = \frac{1}{8}\\ - 1 < 2m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{{16}}\\ - \frac{1}{2} < m \le 0 \end{array} \right.\).
Câu 192: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình \(\sqrt {{{15.2}^{x + 1}} + 1} \ge \left| {{2^x} - 1} \right| + {2^{x + 1}}\) bằng bao nhiêu? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x} \ge 1\) (do \(x \ge 0\)) bất phương trình trở thành: \(\Leftrightarrow \sqrt {30t + 1} \ge 3t - 1 \Leftrightarrow 30t + 1 \ge 9{t^2} - 6t + 1 \Leftrightarrow 0 \le t \le 4\) \(\Rightarrow 0 \le x \le 2.\) Vậy bất phương trình có ba nghiệm nguyên không âm.
Câu 193: Tìm tổng các nghiệm của phương trình \({3^{2 + x}} + {3^{2 - x}} = 30\). A. \(3\). B. \(\frac{10}{3}\). C. \(0.\) D. \(\frac{1}{3}\). Spoiler: Xem đáp án \({3^{2 + x}} + {3^{2 - x}} = 30 \Leftrightarrow {9.3^x} + \frac{9}{{{3^x}}} = 30\) Đặt \(t = {3^x},t > 0\) ta có: \(9{t^2} - 30t + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = \frac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {3^x} = 3\\ {3^x} = \frac{1}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Câu 194: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình \({4.3^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + {9.4^{\log \left( {10x} \right)}} = {13.6^{1 + \log x}}\). A. 100. B. 10. C. 1. D. \(\frac{1}{10}.\) Spoiler: Xem đáp án ĐK: x>0. \({4.3^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + {9.4^{\log \left( {10x} \right)}} = {13.6^{1 + \log x}}\) \(\Leftrightarrow {4.3^{2.\log \left( {10x} \right)}} + {9.2^{2.\log \left( {10x} \right)}} = {13.6^{\log \left( {10x} \right)}}\) \(\Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2\log \left( {10x} \right)}} - 13.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} + 9 = 0\) Đặt: \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} > 0\) phương trình trở thành: \(4{t^2} - 13t + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{9}{4} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} = 1\\ {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\log \left( {10x} \right)}} = \frac{9}{4} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log \left( {10x} \right) = 0\\ \log \left( {10x} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{{10}}\\ x = 10 \end{array} \right.\) Suy ra tích các nghiệm bằng 1.
Câu 195: Viết biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{x}}}\,\left( {x > 0} \right)\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. A. \(P = {x^{\frac{1}{{12}}}}\). B. \(P = {x^{\frac{5}{{12}}}}\). C. \(P = {x^{\frac{1}{{7}}}}\). D. \(P = {x^{\frac{5}{{4}}}}\). Spoiler: Xem đáp án \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{x}}}\, = \sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{{\sqrt[4]{x}}} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{{3 \cdot 4}}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{5}{{12}}}}.\)
Câu 196: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là \(V(m^3)\) 10 năm tiếp theo, mỗi năm thể tích CO2 tăng m%. 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO2 mỗi năm tăng n%. Tính thể tích CO2 năm 2016? A. \({V_{2016}} = V\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{40}}}}\) B. \({V_{2016}} = V\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^8}}}{{{{10}^{36}}}}\) C. \({V_{2016}} = V\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{36}}}}\) D. \({V_{2016}} = V\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^8}}}{{{{10}^{20}}}}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khí CO2 năm 2008 là: \({V_{2008}} = V{\left( {1 + \frac{m}{{100}}} \right)^{10}}.\) Thể tích khí CO2 năm 2016 là: \({V_{2016}} = {V_{2008}}{\left( {1 + \frac{n}{{100}}} \right)^8} = V{\left( {1 + \frac{m}{{100}}} \right)^{10}}{\left( {1 + \frac{n}{{100}}} \right)^8} = V\frac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^8}}}{{{{10}^{36}}}}.\)
Câu 197: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {3^x}{.5^{{x^2}}}.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow x\ln 3 + {x^2}\ln 5 \ge 0\) B. \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow x\log 3 + {x^2}\log 5 \ge 0\) C. \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow x{\log _5}3 + {x^2} \ge 0\) D. \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow x + {\log _5}3 \ge 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{3^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) \ge \ln 1 \Leftrightarrow \ln {3^x} + \ln {5^{{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x\ln 3 + {x^2}\ln 5 \ge 0\)Vậy: A đúng. Tương tự: B đúng. Mặc khác: \(f\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{3^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) \ge {\log _5}1\) \(\Leftrightarrow {\log _5}{3^x} + {\log _5}{5^{{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x{\log _5}3 + {x^2} \ge 0\) Suy ra: C đúng và D sai. D chỉ đúng khi x>0.
Câu 198: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{{x^2} - 3x}} - \frac{9}{4}} .\) A. \(D = \left[ {0;3} \right]\) B. \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) C. \(D = \left[ {1;2} \right]\) D. \(D = \left[ { - 1;2} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện xác định: \(\begin{array}{l} {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} - \frac{9}{4} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 2}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x \le - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2 \end{array}\) Vậy hàm số có tập xác định là \(D = \left[ {1;2} \right].\)
Câu 199: Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{2{a^5}{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\,\,\,(a > 0).\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(P = {a^5}\) B. \(P = \frac{1}{{{a^5}}}\) C. \(P = \frac{1}{{{2}}}\) D. \(P = 2\) Spoiler: Xem đáp án \(P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{2{a^5}{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\, = \frac{{{a^3}}}{{2{a^5}.{a^{ - 2}}}} = \frac{1}{2}\)
Câu 200: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {1 + {7^x}} .\) A. \(y' = \frac{{{7^x}\ln 7}}{{2\sqrt {1 + {7^x}} }}\) B. \(y' = \frac{{{7^x}\ln 7}}{{\sqrt {1 + {7^x}} }}\) C. \(y' = \frac{{{7^x}}}{{2\sqrt {1 + {7^x}} }}\) D. \(y' = \frac{{{7^x}}}{{\sqrt {1 + {7^x}.\ln 3} }}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \left( {\sqrt {1 + {7^x}} } \right) = \frac{{\left( {1 + {7^x}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {7^x}} }} = \frac{{{7^x}\ln 7}}{{2\sqrt {1 + {7^x}} }}.\)
