Câu 201: Cho hàm số \(f(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. C. Hàm số không có cực trị. D. f(x) luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) với \(x\in \mathbb{R}\), ta có \(f'(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)\) Dễ thấy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} < 1\) \(\Rightarrow \ln \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right) < 0 \Rightarrow f'(x) < 0;\forall x \in\mathbb{R}\) Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên R, không có cực trị và f(x) luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành vì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Câu 202: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {2017^{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\) A. \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\) B. \(D = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\) C. \(D = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\) D. \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right].\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \Rightarrow D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]{\rm{.}}\)
Câu 203: Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{4^{4 + 3\sqrt[3]{2}}}}}{{{{32.8}^{2\sqrt[3]{2}}}}}.\) A. \(P = {2^{1 - 24\sqrt[3]{2}}}.\) B. \(P = {2^{11}}\) C. \(P = 8\) D. \(P = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(P = \frac{{{4^{4 + 3\sqrt 2 }}}}{{{{32.8}^{2\sqrt 2 }}}} = \frac{{{2^{8 + 6\sqrt 2 }}}}{{{2^5}{{.2}^{6\sqrt 2 }}}} = \frac{{{2^{8 + 6\sqrt 2 }}}}{{{2^{5 + 6\sqrt 2 }}}} = {2^3} = 8.\)
Câu 204: Gọi \({S_1},\,{S_2},\,{S_3}\) lần lượt là tập nghiệm của các bất phương trình sau: ${2^x} + {2.3^x} - {5^x} + 3 > 0$. Tìm khẳng định đúng? A. \({S_1} \subset {S_3} \subset {S_2}.\) B. \({S_2} \subset {S_1} \subset {S_3}.\) C. \({S_1} \subset {S_2} \subset {S_3}.\) D. \({S_2} \subset {S_3} \subset {S_1}.\) Spoiler: Xem đáp án \({2^x} + {2.3^x} - {5^x} + 3 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} - 5 > 0\). Đặt \(f(x) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} - 5\) \(\Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\ln \frac{2}{5} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}\ln \frac{1}{5} - 5 < 0 \Rightarrow f(x)\) nghịch biến trên tập xác định. Mặt khác .. \({\log _2}\left( {x + 2} \right) \le - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ x + 2 \le \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ x \le - \frac{7}{4} \end{array} \right. \Rightarrow {S_2} = \left( { - 2; - \frac{7}{4}} \right].\) \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 - 1}}} \right)^x} > 1 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow {S_3} = ( - \infty ;0).\) Suy ra \({S_2} \subset {S_3} \subset {S_1}\)
Câu 205: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x - 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x}.\) A. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0;1} \right].\) B. \(S = \left[ { - 1;0} \right].\) C. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ {0; + \infty } \right).\) D. \(S = \left[ { - 1;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x - 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x - 1}}}} \le \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^x}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x - 1}} + x}} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{{x^2} + x}}{{x - 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^0} \end{array}\) \(\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ - 1 \le x \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow S = [ - 1;0] \cup (1; + \infty ).\)
Câu 206: Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín 1/5 mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. A. \(12 - \log 5\) (giờ). B. \(\frac{{12}}{5}\) (giờ). C. \(12 - \log 2\) (giờ). D. \(12 + \ln 5\) (giờ). Spoiler: Xem đáp án Gọi t là thời gian bèo phủ kín 1/5 mặt ao, khi đó \({10^t} = \frac{{{{10}^{12}}}}{5} \Leftrightarrow t = \log \frac{{{{10}^{12}}}}{5} = 12 - \log 5.\)
Câu 207: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm thực phân biệt \({9^{{x^2}}} - {2.3^{{x^2} + 1}} + 3m - 1 = 0.\) A. \(m>2\) B. \(2 < m < \frac{{10}}{3}\) C. \(m=2\) D. \(m<2\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {3^{{x^2}}},t \ge 1 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 3m - 1 = 0(*).\) Đặt \(f(t) = {t^2} - 6t + 3m - 1\) Giả sử phương trình f(t) có 2 nghiệm là t=a và t=b thì \(\left[ \begin{array}{l} {3^{{x^2}}} = a\\ {3^{{x^2}}} = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = {\log _3}a\\ {x^2} = {\log _3}b \end{array} \right.\) Vậy ta có nhận xét rằng để (*) có 3 nghiệm thì: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}a = 0\\ {\log _3}b > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b > 1 \end{array} \right.\) Khi đó \(f(1) = 1 - 6 + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) . Với m=2 \(\Rightarrow f(t) = {t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 5 > 0 \end{array} \right.(t/m).\)
Câu 208: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{{9^x}}}\) A. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}\) B. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}.\) C. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}.\) D. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{x + 3}}{{{9^x}}} = \left( {x + 3} \right).{\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} + \left( {x + 3} \right){\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\ln \frac{1}{9}\) \(= \frac{{1 + \left( {x + 3} \right)\ln \frac{1}{9}}}{{{9^x}}} = \frac{{1 - \left( {x + 3} \right)\ln 9}}{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x}}} = \frac{{1 - \left( {x + 3} \right)\ln {3^2}}}{{{3^{2x}}}} = \frac{{1 - 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}.\)
Câu 209: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}.\) Xét các khẳng định sau: Khẳng định 1. \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0.\) Khẳng định 2. \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > - 1.\) Khẳng định 3.\(f\left( x \right) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\) Khẳng định 4. \(f\left( x \right) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 + {x^3}}} < 7 + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}}.\) Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} > {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\) \(\Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x > - 1 \end{array} \right.\) Từ đó, ta được khẳng định 1 đúng và khẳng định 2 sai. Lại có \(f\left( x \right) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 - \sqrt 2\) \(\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{{x^3}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} - \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{ - {x^2}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} < 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2} - 1}} < 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}} \right)^{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}.\) Từ đó, ta được khẳng định 3 đúng. Ta có \(f\left( x \right) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 + \sqrt 2\) \(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < \frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 + {x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}} < 7 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 + {x^3}}} < 7 + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}}.\) Từ đó, ta được khẳng định 4 đúng.
Câu 210: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {1 - \cos 3x} \right)^6}\) A. \(y' = 6\sin 3x{\left( {1 - \cos 3x} \right)^5}\) B. \(y' = 6\sin 3x{\left( {\cos 3x - 1} \right)^5}\) C. \(y' = 18\sin 3x{\left( {1 - \cos 3x} \right)^5}.\) D. \(y' = 18\sin 3x{\left( {\cos 3x - 1} \right)^5}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {\left( {1 - \cos 3x} \right)^6} \Rightarrow y = 6{\left( {1 - \cos 3x} \right)^5}.\left( {1 - \cos 3x} \right)'\) \(= 6{\left( {1 - \cos 3x} \right)^5}.3\sin 3x = 18\sin 3x{\left( {1 - \cos 3x} \right)^5}\)
