Câu 211: Biết rằng phương trình \({2^{\frac{x}{{x - 1}}}} = {3^x}\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Tính giá trị biểu thức \(P = {3^{{x_1} + {x_2}}}.\) A. P=9 B. P=5 C. P=1 D. P=6 Spoiler: Xem đáp án Ta có \({2^{\frac{x}{{x - 1}}}} = {3^x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ \frac{x}{{x - 1}} = {\log _2}{3^x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x = x(x - 1){\log _2}3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = {\log _3}6 \end{array} \right. \Rightarrow {3^{{x_1} + {x_2}}} = 6.\)
Câu 212: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({3.4^x} - {5.6^x} + {2.9^x} < 0.\) A. \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\) B. \(S = \left( {\frac{2}{5};1} \right)\) C. \(S = \left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) D. S=(0;1) Spoiler: Xem đáp án \({2.4^x} - {5.6^x} + {2.9^x} < 0 \Leftrightarrow 3.{({2^x})^2} - {5.2^x}{.3^x} + 2.{({3^x})^2} < 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3.{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x}} \right]^2} - 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 2 < 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} - 1} \right].\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} - \frac{2}{3}} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow S = (0;1). \end{array}\)
Câu 213: Biết rằng phương trình \({5^{x - 1}} + {5^{3 - x}} = 26\)có hai nghiệm là \(x_1,x_2\).Tính tổng \(x_1+x_2\) A. 2 B. 4 C. -2 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({5^{x - 1}} + {5^{3 - x}} = 26 \Leftrightarrow \frac{{{5^x}}}{5} + \frac{{125}}{{{5^x}}} = 26\) \(\Leftrightarrow {({5^x})^2} - {130.5^x} + 625 = 0 \Leftrightarrow ({5^x} - 125)({5^x} - 5) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^x} = 125\\ {5^x} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^x} = {5^3}\\ {5^x} = {5^1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 3\\ {x_2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 4.\)
Câu 214: Cho ba hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\) có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(a > b > c > 1\) B. \(1 < c < b < a\) C. \(c < 1 < b < a\) D. \(c < 1 < a < b\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau: Hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) là các hàm số đồng biến trên R, hàm số \(y = {c^x}\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Khi đó \(y' = \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {{a^x}.\ln a;{b^x}.\ln b} \right\} > 0\\ {c^x}.\ln c < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {\ln a;\ln b} \right\} > 0\\ \ln c < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z,b > 1\\ 0 < c < 1 \end{array} \right.\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) = {a^x}\\ g(x) = {b^x} \end{array} \right.\) mà \(f({x_0}) < g({x_0})\) (khi \({x_0} \to + \infty ) \Rightarrow a^{{x_0}} < {b^{{x_0}}} \Rightarrow a < b\)) Hoặc có thể chọn x = 10 thì \(1 < {a^{10}} < {b^{10}} \Rightarrow a < b\) Vậy ta được \(b > a > 1 > c > 0.\)
Câu 215: Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình ${8^{\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}}} = 0,25.{\left( {\sqrt 2 } \right)^{7x}}$. Tính giá trị của biểu thức $$. A. \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \frac{{53}}{{49}}\) B. \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \frac{{43}}{{49}}\) C. \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \frac{{17}}{{15}}\) D. \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \frac{7}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({8^{\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}}} = 0,25.{\left( {\sqrt 2 } \right)^{7x}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{x + 1}}}} = {2^{ - 2}}{.2^{\frac{{7x}}{2}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{x + 1}}}} = {2^{\frac{{7x}}{2} - 2}}\) \(\Leftrightarrow \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{7x}}{2} - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = \frac{7}{2}} \end{array}} \right.\) Do đó \(x_1^2 + x_2^2 = {1^2} + {\left( {\frac{2}{7}} \right)^2} = \frac{{53}}{{49}}.\)
Câu 216: Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. \({x^m}{x^n} = {x^{m + n}}\) B. \({(xy)^n} = {x^n}.{y^n}\) C. \({({x^n})^m} = {x^{nm}}\) D. \({x^m}.{y^n} = {(xy)^{m + n}}\) Spoiler: Xem đáp án A, B, C là các tính chất của lũy thừa đã được đề cập trong chương trình Giải tích 12. D là đăng thức sai, lũy thừa không có tính chất này. Có thể kiểm tra điều này bằng cách thay số bất kì vào đẳng thức.
Câu 217: Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {x\sqrt[5]{{{x^3}}}} }}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = {x^{\frac{{14}}{{15}}}}\) B. \(P = {x^{\frac{{17}}{{36}}}}\) C. \(P = {x^{\frac{{13}}{{15}}}}\) D. \(P = {x^{\frac{{16}}{{15}}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(P = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {x\sqrt[5]{{{x^3}}}} }} = \sqrt[3]{{{x^2}\sqrt {{x^{\frac{8}{5}}}} }} = \sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{4}{5}}}}} = {x^{\frac{{14}}{{15}}}}.\)
Câu 218: Giải phương trình \({9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}.\) A. \(x=5\) B. \(x=4\) C. \(x=6\) D. \(x=17\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(x>1\) khi đó: \({9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}} \Leftrightarrow {9^{\sqrt {x - 1} }} = {9^2} \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5.\)
Câu 219: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${3^{2x}} - 2\left( {m + 1} \right)3^{2x} - 3 - 2m > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. A. m tùy ý. B. \(m\ne -\frac{4}{3}\). C. \(m< -\frac{2}{3}\). D. \(m\leq -\frac{3}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {3^x},{\rm{ }}t > 0.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 3 - 2m > 0,\forall t > 0.\) \(\Rightarrow m < \frac{{{t^2} - 2t - 3}}{{2t + 2}},\forall t > 0\)\(\Rightarrow m < \frac{1}{2}\left( {t + 3} \right),\forall t > 0.\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {t + 3} \right),\,\,t > 0.\) Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{2} > 0,\forall t > 0.\) Suy ra: hàm số đồng biến trên \(\left( {0, + \infty } \right).\) Vậy \(m < f\left( t \right),\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le f\left( 0 \right) = - \frac{3}{2}.\)
Câu 220: Cho biểu thức \(P = x.\sqrt[5]{{x.\sqrt[3]{{x.\sqrt x }}}},{\rm{ }}x > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(P = {x^{\frac{2}{3}}}.\) B. \(P = {x^{\frac{3}{10}}}.\) C. \(P = {x^{\frac{13}{10}}}.\) D. \(P = {x^{\frac{1}{2}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(P = x.\sqrt[5]{{x.\sqrt[3]{{x.\sqrt x }}}} = x.{x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{1}{3}.\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}}} = {x^{1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{30}}}} = {x^{\frac{{13}}{{10}}}}.\)
